Question

16．如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦AC與半徑OD平行．
（1）求證：弧CD=弧BD；
（2）若tan∠CDO=$\sqrt{2}$，求$\frac{AC}{OD}$的值．

Answer 1

分析 （1）欲證弧BD=弧CD，只需證明它們所對的圓心角相等，即∠BOD=∠COD．

解答 （1）證明：如圖，連接OC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠ACO．
∵AC∥OD，
∴∠OAC=∠BOD．
∴∠DOC=∠ACO．
∴∠BOD=∠COD．
∴弧BD=弧CD；
（2）∵tan∠CDO=$\sqrt{2}$，∴tan∠DOE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴tan∠COD=tan∠FOA=tan2∠DOE=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{2}}{2}}{1-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{2}$，∴cosα=$\frac{1}{9}$
∴$\frac{\frac{1}{2}AC}{OD}$=cosα=$\frac{1}{9}$，∴$\frac{AC}{OD}$=$\frac{2}{9}$

tan（2α）=2tanα/（1-tan²2α）

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