Question

19．如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向形外作等邊△ACD、等邊△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF、CF．
（1）試說明AC=EF；
（2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形；
（3）直接寫出圖中所有等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）由已知條件可證得△ACB≌△EFB，從而得到AC=EF；
（2）由上題結(jié)論結(jié)合等邊△ACD可證得AD=EF，再利用角度證出AD∥EF就可以證出四邊形ADFE是平行四邊形；
（3）結(jié)合直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半性質(zhì)，再結(jié)合等邊三角形就可以得出所有的等腰三角形．

解答 解：（1）∵∠BAC=30° EF⊥AB
∴AB=2BC∠ABC=60°
∵等邊△ABE
∴AB=BE∠FBE=60°
∵EF⊥AB
∴BE=2BF
∴BC=BF
在△ACB與△EFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=EB}\\{∠ABC=∠EBF}\\{BC=BF}\end{array}\right.$，
∴△ACB≌△EFB（SAS）
∴AC=EF
（2）∵等邊△ACD
∴∠DAP=60°AD=AC
∴∠DAF=90°AD=EF
∵EF⊥AB
∴AD∥EF
∴四邊形ADFE是平行四邊形
（3）由（1）可知F為AB中點
∵AC⊥BC
∴AF=FC=FB
∴圖中所有的等腰三角形為△ACD、△ABE、△ACF、△FCB

點評 本題考查平行四邊形、直角三角形及等腰三角形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是要靈活運用直角三角形30°所對的邊等于斜邊的一半，找出邊之間的等量關(guān)系．