Question

8．定義：如圖1，點M，N把線段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M，N是線段AB的勾股分割點．
請解決下列問題：
（1）已知點M，N是線段AB的勾股分割點，且BN＞MN＞AM．若AM=2，MN=3，求BN的長；
（2）如圖2，若點F、M、N、G分別是AB、AD、AE、AC邊上的中點，點D，E是線段BC的勾股分割點，且EC＞DE＞BD，求證：點M，N是線段FG的勾股分割點．

Answer 1

分析 （1）由M、N為線段AB的勾股分割點，利用題中的新定義列出關系式，將MN與AM的長代入求出BN的長即可；
（2）由F、M、N、G分別為各邊中點，得到FM、MN、NG分別為中位線，利用中位線定理得到BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，再利用題中新定義列出關系式，即可得證．

解答 （1）解∵點M，N是線段AB的勾股分割點，且BN＞MN＞AM，AM=2，MN=3，
∴BN²=MN²+AM²=9+4=13，
∴BN=$\sqrt{13}$；

（2）證明∵點F、M、N、G分別是AB、AD、AE、AC邊上的中點，
∴FM、MN、NG分別是△ABD、△ADE、△AEC的中位線，
∴BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，
∵點D，E是線段BC的勾股分割點，且EC＞DE＞BD，
∴EC²=DE²+DB²，
∴4NG²=4MN²+4FM²，
∴NG²=MN²+FM²，
∴點M，N是線段FG的勾股分割點．

點評 此題考查了勾股定理，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．