Question

16．如圖，正方形ABCD的邊BC恰好在△ECG邊EC上，點D在邊EG上，AB與EG交于點F．
（1）求證：△FAD∽△FBE；
（2）若正方形的邊長為5，EF：FD：DG=2：1：1，求△ECG的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠A=∠ABC=∠ABE=90°，根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）如圖，作GH⊥EC，垂足為H，得到BF∥CD∥HG，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到$\frac{EF}{DF}=\frac{BE}{BC}$=2，得到BE=10，求得CE=15，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到GH=$\frac{20}{3}$，由三角形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=∠ABE=90°，
∴∠FAD=∠FBE=90°，
∵∠GFB=∠DFA，
∴△FAD∽△FBE；
（2）解：如圖，作GH⊥EC，垂足為H，
則BF∥CD∥HG，
∴$\frac{EF}{DF}=\frac{BE}{BC}$=2，
∴BE=10，
∴CE=15，
∵CD∥HG，
∴△CDE∽△HGE，
∴$\frac{CD}{GH}$=$\frac{DE}{EG}$，即$\frac{5}{GH}$=$\frac{3}{4}$，
∴GH=$\frac{20}{3}$，
∴△ECG的面積=$\frac{1}{2}$CE•GH=$\frac{1}{2}×$15×$\frac{20}{3}$=50．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形的面積的計算，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．