Question

3．如圖，直線BC與半徑為6的⊙O相切于點B，點M是圓上的動點，過點M作MC⊥BC，垂足為C，MC與⊙O交于點D，AB為⊙O的直徑，連接MA、MB，設(shè)MC的長為x，（6＜x＜12）．
（1）當(dāng)x=9時，求BM的長和△ABM的面積；
（2）是否存在點M，使MD•DC=20？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用切線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)進而得出∠BMC=∠ABM以及∠BCM=∠AMB=90°，即可得出△BCM∽△AMB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得BM的長，根據(jù)勾股定理求得BC，然后根據(jù)三角形面積公式求得△ABM的面積；
（2）首先得出四邊形OBCE為矩形，進而得出MD•DC=2（x-6）•（12-x），進而求出最值即可判定．

解答 （1）證明：∵直線BC與半徑為6的⊙O相切于點B，且AB為⊙O的直徑，
∴AB⊥BC，
又∵MC⊥BC，
∴AB∥MC，
∴∠BMC=∠ABM，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AMB=90°，
∴∠BCM=∠AMB=90°，
∴△BCM∽△AMB，
∴$\frac{BM}{AB}$=$\frac{MC}{BM}$，
∴BM²=AB•MC=12×9=108，
∴BM=6$\sqrt{3}$，
∵BC²+MC²=BM²，
∴BC=$\sqrt{B{M}^{2}-M{C}^{2}}$=3$\sqrt{3}$
∴S_△ABM=$\frac{1}{2}$AB•BC=$\frac{1}{2}$×12×3$\sqrt{3}$=18$\sqrt{3}$；

（2）解：過O作OE⊥MC，垂足為E，
∵MD是⊙O的弦，OE⊥MD，
∴ME=ED，
又∵∠CEO=∠ECB=∠OBC=90°，
∴四邊形OBCE為矩形，
∴CE=OB=6，
又∵MC=x，
∴ME=ED=MC-CE=x-6，MD=2（x-6），
∴CD=MC-MD=x-2（x-6）=12-x，
∴MD•DC=2（x-6）•（12-x）=-2x²+36x-144=-2（x-9）²+18    
∵6＜x＜12，
∴當(dāng)x=9時，MD•DC的值最大，最大值是18，
∴不存在點M，使MD•DC=20．

點評 此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及勾股定理以及切線的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，表示出MD，CD的長是解題關(guān)鍵．