Question

已知如圖，以AB為直徑的圓交x軸于A、B兩點，交y軸于C、D兩點，其中圓心為點M，A點坐標是（-1，0），C點坐標是（0，2）．請問在直線BC上是否存在一點P，使得以P、O、B三點構成的三角形是等腰三角形？若存在，求P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：連接CM，⊙M的半徑為r，則CM=r，OM=r-1，在Rt△OCM根據(jù)勾股定理得2²+（r-1）²=r²，解得r=

5

2

，則AB=2r=5，可得到B點坐標為（4，0），接著利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=-

1

2

x+2，然后分類討論：當PO=PB時，作BO的垂直平分線交直線BC于P，易得P點的橫坐標為2，把x=2代入y=-

1

2

x+2得y=1，由此得到P點坐標為（2，1）；當BP=BO=4時，設P點坐標為（t，-

1

2

t+2），利用兩點間的距離公式得（t-4）²+（-

1

2

t+2）²=4²，解得t₁=

20+8 5

5

，t₂=

20-8 5

5

，
則此時P點坐標為（

20+8 5

5

，-

4 5

5

）或（

20-8 5

5

，

4 5

5

）；當OP=OB=4時，設P點坐標為（m，-

1

2

m+2），利用兩點間的距離公式得m²+（-

1

2

m+2）²=4²，
解得m₁=-

12

5

，m₂=4，則此時P點坐標為（-

12

5

，

16

5

）．

解答：解：存在．
連接CM，⊙M的半徑為r，則CM=r，
∵A點坐標是（-1，0），C點坐標是（0，2），
∴OA=1，OC=2，
在Rt△OCM中，OM=r-1，
∵OC²+OM²=MC²，
∴2²+（r-1）²=r²，解得r=

5

2

，
∴AB=2r=5，
∴OB=4，
∴B點坐標為（4，0），
設直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（4，0）、C（0，2）代入得

4k+b=0 b=2

，解得

k=- 1 2 b=2

，
∴直線BC的解析式為y=-

1

2

x+2，
當PO=PB時，作BO的垂直平分線交直線BC于P，
∵OB=4，
∴P點的橫坐標為2，
把x=2代入y=-

1

2

x+2得y=-1+2=1，
∴此時P點坐標為（2，1）；
當BP=BO=4時，設P點坐標為（t，-

1

2

t+2），
∵PB=4，B（4，0）
∴（t-4）²+（-

1

2

t+2）²=4²，
整理得5t²-40t+16=0，解得t₁=

20+8 5

5

，t₂=

20-8 5

5

，
∴此時P點坐標為（

20+8 5

5

，-

4 5

5

）或（

20-8 5

5

，

4 5

5

）；
當OP=OB=4時，設P點坐標為（m，-

1

2

m+2），
∵OP=4，O（0，0）
∴m²+（-

1

2

m+2）²=4²，
整理得5m²-48m-48=0，解得m₁=-

12

5

，m₂=4，
∴此時P點坐標為（-

12

5

，

16

5

），
綜上所述，滿足條件的P點坐標為（2，1）、（

20+8 5

5

，-

4 5

5

）、（

20-8 5

5

，

4 5

5

）、（-

12

5

，

16

5

）．

點評：本題考查了圓的綜合題：理解與圓有關的性質和等腰三角形的判定；會運用勾股定理和兩點間的距離公式計算線段的長；會解一元二次方程；學會運用分類討論的思想解決數(shù)學問題．