Question

5．如圖①，拋物線y=ax²上有一點(diǎn)C，CA⊥y軸于點(diǎn)A，直線l：y=-1垂直于y軸，CB⊥l于點(diǎn)B，且CA=CB=2，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，1）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖②，若點(diǎn)P是拋物線上的任意一點(diǎn)，PD⊥l，垂足為D，則總有PA=PD嗎？請(qǐng)經(jīng)過(guò)計(jì)算驗(yàn)證你的結(jié)論；
（3）在（2）的條件下，連接AD，當(dāng)△PAD是等邊三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)勾股定理，可得AP的長(zhǎng)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，可得PD的長(zhǎng)，可得答案；
（3）根據(jù)等邊三角形的定義，可得AD=PD，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得m的值，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案．

解答 解：（1）由A（0，1），AC=2，
得C（2，1）．
將C點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
1=4a．
解得a=$\frac{1}{4}$，
拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²；
（2）若點(diǎn)P是拋物線上的任意一點(diǎn)，PD⊥l，垂足為D，則總有PA=PD，
證明：設(shè)P（m，$\frac{1}{4}$m²），
AP²=m²+（$\frac{1}{4}$m²-1）²=（$\frac{1}{4}$m²+1）²，
PD²=（$\frac{1}{4}$m²+1）²，
∴AP²=PD²，
∴AP=PD；
（3）設(shè)P（m，$\frac{1}{4}$m²），D（m，-1），A（0，1），
當(dāng)△PAD是等邊三角形，得
PA=PD=AD．
即AD²=PD²，
m²+2²=（$\frac{1}{4}$m²+1）²．
化簡(jiǎn)，得
m²=12，解得m₁=2$\sqrt{3}$或m₂=-2$\sqrt{3}$．
當(dāng)m=2$\sqrt{3}$時(shí)，$\frac{1}{4}$m²=3，即P（2$\sqrt{3}$，3）；
當(dāng)m=-2$\sqrt{3}$時(shí)，$\frac{1}{4}$m²=3，即P（-2$\sqrt{3}$，3）；
綜上所述：當(dāng)△PAD是等邊三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)（2$\sqrt{3}$，3）；（-2$\sqrt{3}$，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用勾股定理得出PA的長(zhǎng)，點(diǎn)到直線的距離得出PD的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵；利用AD與PD的關(guān)系得出關(guān)于m的方程是解題關(guān)鍵．