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9．如圖，?ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分線交于AD邊上一點(diǎn)E，且BE=4，CE=3，求AB的長．

分析 由?ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分線交于AD邊上一點(diǎn)E，易證得△ABE，△CDE是等腰三角形，△BEC是直角三角形，則可求得BC的長，繼而求得答案．

解答 解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，
∴∠AEB=∠CBE，∠DEC=∠BCE，∠ABC+∠DCB=90°，
∵BE，CE分別是∠ABC和∠BCD的平分線，
∴∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠DCE=∠BCE=$\frac{1}{2}$∠DCB，
∴∠ABE=∠AEB，∠DCE=∠DEC，∠EBC+∠ECB=90°，
∴AB=AE，CD=DE，
∴AD=BC=2AB，
∵BE=4，CE=3，
∴BC=$\sqrt{B{E}^{2}+C{E}^{2}}$=5，
∴AB=$\frac{1}{2}$BC=2.5．

點(diǎn)評 此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．注意證得△ABE，△CDE是等腰三角形，△BEC是直角三角形是關(guān)鍵．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

19．四邊形ABCD內(nèi)部存在一點(diǎn)P，使得ABPD為平行四邊形．求證：若∠CBP=∠CDP，則∠ACD=∠BCP，反之亦然．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

20．山西陳醋是山西省的漢族傳統(tǒng)名產(chǎn)，屬于中國四大名醋之一，它的生產(chǎn)至今已有3000余年的歷史，素有“天下第一醋”的盛譽(yù)，山西老陳醋以色、香、醇、濃、酸五大象征著稱于世．世襲傳統(tǒng)京釀工藝，精選優(yōu)良作原料，這個(gè)生產(chǎn)過程經(jīng)歷“蒸、釀、熏、淋”和“曬”五個(gè)步驟．無任何化學(xué)催化劑，現(xiàn)有一傳統(tǒng)手工釀醋作坊計(jì)劃生產(chǎn)A，B兩種品質(zhì)的醋共10缸，需購買甲、乙兩種糧食，已知一下信息：

解答下列問題：
（1）現(xiàn)作坊計(jì)劃用于甲、乙兩種糧食資金不超過7500元，問符合條件的生產(chǎn)方案有哪幾種？
（2）在（1）的條件下，若生產(chǎn)一缸A品質(zhì)的醋需加工費(fèi)200元，生產(chǎn)B品質(zhì)的醋需加工費(fèi)300元，應(yīng)選擇哪種生產(chǎn)方案，使生產(chǎn)這10缸醋的成本最低，最低成本為多少？（成本=材料費(fèi)+加工費(fèi)）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-2x+12與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段OC上，OD=2CD．
（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，6）；
（2）求直線AD的解析式；
（3）P是直線AD上的點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以為O、A、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

4．圖①是一個(gè)長為2a，寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個(gè)小長方形，然后按圖②的形狀拼成一個(gè)正方形．
（1）請用兩種不同的方法求圖2中陰影部分的面積：
方法1：（a+b）2-4ab；
方法2：（a-b）2；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，請你寫出（a+b）2、（a-b）2、ab之間的等量關(guān)系是（a+b）2-4ab=（a-b）2；
（3）根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：a+b=$\sqrt{7}$，a-b=$\sqrt{2}$，求ab的值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

5．探究問題：
（1）方法感悟：
如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且滿足∠EAF=45°，連接EF，求證DE+BF=EF．
感悟解題方法，并完成下列填空
證明：延長CB到G，使BG=DE，連接AG，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABG=∠D=90°，
∴△ADE≌△ABG．
∴AG=AE，∠1=∠2；
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAD=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=45°．
即GAF=∠EAF．
又AG=AE，AF=AF，
∴△GAF≌△EAF．
∴FG=EF，
∵FG=FB+BG，
又BG=DE，
∴DE+BF=EF．

變化：在圖①中，過點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M，請直接寫出AM和AB的數(shù)量關(guān)系相等；
（2）方法遷移：
如圖②，將Rt△ABC沿斜邊AC翻折得到Rt△ADC，E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的點(diǎn)，∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD，連接EF，過點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M，試猜想DF，BE，EF之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．試猜想AM與AB之間的數(shù)量關(guān)系．并證明你的猜想．
（3）問題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，E，F(xiàn)分別為DC，BC上的點(diǎn)，滿足$∠EAF=\frac{1}{2}∠DAB$，試猜想當(dāng)∠B與∠D滿足什么關(guān)系時(shí)，可使得DE+BF=EF．請直接寫出你的猜想（不必說明理由）．猜想：∠B與∠D滿足關(guān)系：∠B+∠D=180°．

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12．請閱讀下面的材料，并回答所提出的問題．
三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理：三角形的內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對應(yīng)成比例．
已知：如圖1，△ABC中，AD是角平分線，求證：$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$
分析：要證$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$，一般只要證BD、DC與AB、AC或BD、AB與DC、AC所在的三角形相似．現(xiàn)在B、D、C在一直線上，△ABD與△ADC不相似，需要考慮用別的方法換比．
在比例式$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$中，AC恰是BD、DC、AB的第四比例項(xiàng)，所以考慮過C作CE∥AD，交BA的延長線于E，從而得到BD、DC、AB的第四比例項(xiàng)AE，這樣，證明$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$就可以轉(zhuǎn)化為證AE=AC．
（1）證明：過C作CE∥DA，交BA的延長線于E．（完成以下證明過程）
∴AE=AC（等腰三角形的判定定理）
∴△BAD∽△BEC，∴$\frac{BD}{BC}=\frac{AB}{BE}$（相似三角形的性質(zhì)）∴$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$
（2）用三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理解答問題：
已知：如圖2，△ABC中，AD是角平分線，AB=5cm，AC=4cm，BC=7cm．
求：BD的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

9．下列根式中，最簡二次根式是（　　）
A．$\sqrt{25a}$B．$\sqrt{0.5}$C．$\sqrt{\frac{a}{2}}$D．$\sqrt{{a^2}+{b^2}}$

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

10．若不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{x＞m}\end{array}\right.$的解集是x＞2，則m的取值范圍是（　　）
A．m＞2B．m≥2C．m＜2D．m≤2

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同步練習(xí)冊答案