Question

11．圖1是一種可折疊臺(tái)燈，它放置在水平桌面上，將其抽象成圖2，其中點(diǎn)B，E，D均為可轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)．現(xiàn)測得AB=BE=ED=CD=15cm，經(jīng)多次調(diào)試發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)B，E所在直線垂直經(jīng)過CD的中點(diǎn)F時(shí)（如圖3所示）放置較平穩(wěn)．
（1）求平穩(wěn)放置時(shí)燈座DC與燈桿DE的夾角的大�。�
（2）為保護(hù)視力，寫字時(shí)眼睛離桌面的距離應(yīng)保持在30cm，為防止臺(tái)燈刺眼，點(diǎn)A離桌面的距離應(yīng)不超過30cm，求臺(tái)燈平穩(wěn)放置時(shí)∠ABE的最大值．（結(jié)果精確到0.01°，參考數(shù)據(jù)：$\sqrt{3}$≈1.732，sin7.70°≈0.134，cos82.30°≈0.134，可使用科學(xué)計(jì)算器）

Answer 1

分析 （1）由題意得：DF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{15}{2}$cm，EF⊥CD，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論；
（2）如圖3，過A作AH⊥BE交EB的延長線于H，求得EF=15×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{15\sqrt{3}}{2}$，根據(jù)cos∠ABH=$\frac{BH}{AB}$≈0.134，根據(jù)得到結(jié)論．

解答 解：（1）由題意得：DF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{15}{2}$cm，EF⊥CD，
∴cosD=$\frac{DF}{DE}=\frac{1}{2}$，
∴∠D=60°；
答：平穩(wěn)放置時(shí)燈座DC與燈桿DE的夾角是60°；

（2）如圖3，過A作AH⊥BE交EB的延長線于H，
∴HF=30，
∵EF=15×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{15\sqrt{3}}{2}$，
∴BH=30-BE-EF=15-$\frac{15\sqrt{3}}{2}$，
∴cos∠ABH=$\frac{BH}{AB}$≈0.134，
∴∠ABH≈82.30°，
∴∠ABE=97.70°．
答：臺(tái)燈平穩(wěn)放置時(shí)∠ABE的最大值是97.70°．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的密切聯(lián)系，解題的關(guān)鍵是表示出線段的長后，理清線段之間的關(guān)系．