Question

如圖，矩形ABDE中，C為BD上一動點，作CF⊥AC交AE所在的直線于F，若AB=4，求AF的最小值．

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì),勾股定理,等腰直角三角形

專題：

分析：根據(jù)（a-b）²≥0，即a²+b²≥2ab，（當a=b時等號成立），那么在直角三角形ACF中AF=

AC2+CF2

≥

2AC•CF

，（當AC=CF是等號成立），則AF的最小值=

2AC•CF

=

2

AC，從而得出△ACF是等腰直角三角形，進而得出△ABC是等腰直角三角形，從而求得AC的值，即可求得AF的最小值．

解答：解：∵（a-b）²≥0，即a²+b²≥2ab，（當a=b時等號成立）
∵CF⊥AC，
∴AF=

AC2+CF2

≥

2AC•CF

，（當AC=CF是等號成立）
∴AF的最小值=

2AC•CF

=

2

AC，
此時△ACF是等腰直角三角形，
∴∠CAF=45°，
∴∠BAC=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=

2

AB=4

2

∴AF的最小值=

2

AC=

2

×4

2

=8．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)（a-b）²≥0，即a²+b²≥2ab，（當a=b時等號成立），是本題的關(guān)鍵．