Question

1．已知等腰△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，且AD=$\frac{1}{2}$BC，則△ABC底角的度數(shù)為（　�。�

• A． 45°
• B． 75°
• C． 45°或15°或75°
• D． 60°

Answer 1

分析 作出圖形，分①點(diǎn)A是頂點(diǎn)時(shí)，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BD=CD，從而得到AD=BD=CD，再利用等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠B=∠BAD，然后利用直角三角形兩銳角互余求解即可；
②點(diǎn)A是底角頂點(diǎn)時(shí)，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出∠C=30°，然后再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求解即可．

解答 解：①如圖1，點(diǎn)A是頂點(diǎn)時(shí)，

∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∵AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴AD=BD=CD，
在Rt△ABD中，∠B=∠BAD=$\frac{1}{2}$（180°-90°）=45°；
②如圖2，點(diǎn)A是底角頂點(diǎn)，且AD在△ABC外部時(shí)，

∵AD=$\frac{1}{2}$BC，AC=BC，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠ACD=30°，
∴∠BAC=∠ABC=$\frac{1}{2}$×30°=15°；
②如圖2，點(diǎn)A是底角頂點(diǎn)，且AD在△ABC內(nèi)部時(shí)，

∵AD=$\frac{1}{2}$BC，AC=BC，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠C=30°，
∴∠BAC=∠ABC=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°；
綜上所述，△ABC底角的度數(shù)為45°或15°或75°．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形的兩底角相等的性質(zhì)，以及三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，難點(diǎn)在于要分情況討論求解．