Question

如圖，已知雙曲線y=

k

x

經(jīng)過點D（6，1），點C是雙曲線第三象限上的一個動點，過點C作CA⊥x軸，過點D作DB⊥y軸，垂足分別為A，B，連接AB，BC．
（1）求雙曲線的解析式；
（2）當△BCD的面積為12時，求直線CD的解析式；
（3）在（2）的條件下，若直線CD與y軸交于點E，猜想四邊形ACEB的形狀，并說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：

分析：（1）把點D的坐標代入雙曲線解析式，進行計算即可得解；
（2）先根據(jù)點D的坐標求出BD的長度，再根據(jù)三角形的面積公式求出點C到BD的距離，然后求出點C的縱坐標，再代入反比例函數(shù)解析式求出點C的坐標，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答；
（3）根據(jù)題意求出點A、B的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，可知與直線CD的解析式k值相等，所以AB、CD平行．

解答：解：（1）∵雙曲線y=

k

x

經(jīng)過點D（6，1），
∴

k

6

=1，
解得k=6；

（2）設點C到BD的距離為h，
∵點D的坐標為（6，1），DB⊥y軸，
∴BD=6，
∴S_△BCD=

1

2

×6•h=12，
解得h=4，
∵點C是雙曲線第三象限上的動點，點D的縱坐標為1，
∴點C的縱坐標為1-4=-3，
∴

6

x

=-3，
解得x=-2，
∴點C的坐標為（-2，-3），
設直線CD的解析式為y=kx+b，
則

-2k+b=-3 6k+b=1

，
解得

k= 1 2 b=2

，
所以，直線CD的解析式為y=

1

2

x-2；

（3）由

y= 6 x y= 1 2 x-2

，
解得

x1=-2 y1=-3

  

x2=6 y2=1

，
∴C點的坐標（-2，-3），
∴A點的坐標為（-2，0），B點的坐標為（0，1）
∴直線AB的解析式為y=

1

2

x+1
∵AB、CD的解析式k都等于

1

2

，
∴AB與CD的位置關系是AB∥CD．
∵AC⊥x軸，
∴AC∥EB，
∴四邊形ACEB為平行四邊形．

點評：本題是對反比例函數(shù)的綜合考查，主要利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積的求解，待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式最常用的方法，一定要熟練掌握并靈活運用