Question

如圖，等邊△ABC中，點D為BC邊的中點，∠BEC=120°，連接AE、DE，求證：AE=2DE．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：證明題

分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得△ABE≌△ACF，且△AEF為等邊三角形，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得∠EBA+∠ACE=120°-（∠EAB+∠EAC）=60°，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得EB=DG，∠EBD=∠GCD，再根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得EG=EF，根據(jù)等量代換，可得答案．

解答：證明：如圖：

將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACF，連接EF．延長ED至點G，
使DG=ED，連接CG．
∴△ABE≌△ACF，且△AEF為等邊三角形．           
∴AE=AF=EF，BE=CF，∠FCA=∠EBA           
∵∠EBA+∠ACE=120°-（∠EAB+∠EAC）=60°           
∴∠FCE=∠EBA+∠ACE=60°．
在△EBD和△GCD中，

ED=GD ∠EDB=∠GDC DB=CD

，
∴△EBD≌△GCD （SAS），
∴EB=DG，∠EBD=∠GCD，
∴CG=CF，∠GCE=∠GCD+∠ECD=∠EBC+∠ECB=60°=∠FCE．
在△ECG和△ECF中，

EC=EC ∠ECG=∠ECF CG=CF

，
∴△ECG≌△ECF（SAS）           
∴EG=EF，
∴EF=EG=2ED，
∴AE=2ED．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．