Question

在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=90°，AB=6，CD=4，AD=2，作梯形的內(nèi)接矩形AEFG，使點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在BC上，點(diǎn)G在AD上．設(shè)EF=x．
（1）寫(xiě)出矩形AEFG的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（2）寫(xiě)出梯形AGFB的面積S₁與x之間的函數(shù)解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：直角梯形,根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式

專(zhuān)題：

分析：（1）過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB于M，可以得到四邊形AMCD是矩形，△BMC是等腰直角三角形，求出∠B=45°，然后求出EF=BE，再表示出AE，然后根據(jù)矩形的面積公式列式即可；
（2）同（1）表示出AE，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得GF=AE，然后根據(jù)梯形的面積公式列式整理即可得解．

解答：解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB于M，
∵AB∥DC，∠A=90°，
∴四邊形AMCD是矩形，
∴CM=AD=2，
∴AM=DC=4，
∴BM=AB-AM=6-4=2，
∴CM=BM=2，∠CMB=90°，
∴△BMC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∵EF⊥AB，
∴BE=EF=x，
∴AE=AB-BE=6-x，
∴S=AE×EF=（6-x）x=6x-x²（0＜x＜2）；

（2）由（1）知，∠B=45°，
所以，△BEF是等腰直角三角形，
所以，BE=EF=x，
所以，GF=AE=6-x，
所以，S₁=

1

2

（6-x+6）•x=-

1

2

x²+6x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角梯形，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，列二次函數(shù)關(guān)系式，作輔助線構(gòu)造出等腰直角三角形和矩形是解題的關(guān)鍵．