Question

如圖，在⊙O中，點P為直徑BA延長線上一點，直線PD切⊙O于點D，過點B作BH⊥PD，垂足為H，BH交⊙O于點C，連接BD．
（1）求證：BD平分∠ABH；
（2）如果AB=10，BC=6，求BD的長；
（3）在（2）的條件下，當E是

AB

的中點，DE交AB于點F，求DE•DF的值．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OD易證OD∥BH，則∠ODB=∠DBH，然后根據(jù)等邊對等角證明∠ODB=∠OBD，從而證明；
（2）證明四邊形ODHG是矩形，在Rt△DBH中利用勾股定理即可求解；
（3）連接AD，AE，證明△ADE∽△FDB，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可證得．

解答：（1）證明：連接OD． 
∵PD是⊙O的切線，
∴OD⊥PD．
又∵BH⊥PD，
∴∠PDO=∠PHB=90°，
∴OD∥BH，
∴∠ODB=∠DBH．
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠OBD=∠DBH，
∴BD平分∠ABH． 

（2）解：過點O作OG⊥BC，G為垂足，
則BG=CG=3，
在Rt△OBG中，OG=

OB2-BG2

=4．
∵∠ODH=∠DHG=∠HGO=90°，
∴四邊形ODHG是矩形． 
∴OD=GH=5，DH=OG=4，BH=8．
在Rt△DBH中，BD=4

5

；

（3）解：連接AD，AE，
則∠AED=∠ABD，∠ADB=90°．
在Rt△ADB中，AD=2

5

．
又∵E是

AB

的中點，即

AE

=

BE

，∴∠ADE=∠EDB，
∴△ADE∽△FDB．
即

DE

DB

=

AD

FD

，
∴DE•DF=DB•AD=40．

點評：本題綜合考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識點的運用．此題是一個大綜合題，難度較大．