Question

如圖，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，點P為AB邊上一動點，DP交AC于點Q．
（1）求證：△APQ∽△CDQ；
（2）P點從A點出發(fā)沿AB邊以每秒1個單位長度的速度向B點移動，移動時間為t秒．
①當(dāng)t為何值時，DP⊥AC？
②設(shè)S_△APQ+S_△DCQ=y，寫出y與t之間的函數(shù)解析式，并探究P點運動到第幾秒到第幾秒之間時，y取得最小值．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：壓軸題,探究型

分析：（1）求證相似，證兩對角相等即可，由平行線的性質(zhì)容易得出角相等．
（2）①當(dāng)垂直時，易得三角形相似，故有相似邊成比例，由題中已知矩形邊長，AP長已知，故t易知．
②因為S_△APQ+S_△DCQ=y，故求S_△APQ和S_△DCQ是解決問題的關(guān)鍵，觀察無固定組合規(guī)則圖象，則考慮作高分別求�。�考慮兩高在同一直線上，且相加恰為10，故可由（1）相似結(jié)論得，高的比等于對應(yīng)邊長比，設(shè)其中一高為h，即可求得，則易表示y=

5t2+2000

20+t

，注意要考慮t的取值．討論何時y最小，y=

5t2+2000

20+t

不是我們學(xué)過的函數(shù)類型，故無法用最值性質(zhì)來討論，觀察題目問法“探究P點運動到第幾秒到第幾秒之間時”，＜1＞并不是我們常規(guī)的在確定時間最小，＜2＞時間為整數(shù)秒．故可考慮將所有可能的秒全部算出，再觀察數(shù)據(jù)探究函數(shù)的變化找結(jié)論．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠QPA=∠QDC，∠QAP=∠QCD，
∴△APQ∽△CDQ．

（2）解：①當(dāng)DP⊥AC時，∠QCD+∠QDC=90°，
∵∠ADQ+∠QDC=90°，
∴∠DCA=∠ADP，
∵∠ADC=∠DAP=90°，
∴△ADC∽△PAD，
∴

AD

PA

=

DC

AD

，
∴

10

PA

=

20

10

，
解得 PA=5，
∴t=5．
②設(shè)△AQP的邊AP上的高h，則△QDC的邊DC上的高為（10-h）．
∵△APQ∽△CDQ，
∴

h

10-h

=

AP

DC

=

t

20

，
解得 h=

10t

20+t

，
∴10-h=

200

20+t

，
∴S_△APQ=

1

2

•AP•h=

5t2

20+t

，
S_△DCQ=

1

2

•DC•(10-h)=

2000

20+t

，
∴y=S_△APQ+S_△DCQ=

5t2

20+t

+

2000

20+t

=

5t2+2000

20+t

（0≤t≤20）．
探究：
t=0，y=100；
t=1，y≈95.48；
t=2，y≈91.82；
t=3，y≈88.91；
t=4，y≈86.67；
t=5，y=85；
t=6，y≈83.85；
t=7，y≈83.15；
t=8，y≈82.86；
t=9，y≈82.93；
t=10，y≈83.33；
t=11，y≈84.03；
t=12，y=85；
t=13，y≈86.21；
t=14，y≈87.65；
t=15，y≈89.29；
t=16，y≈91.11；
t=17，y≈93.11；
t=18，y≈95.26；
t=19，y≈97.56；
t=20，y=100；
觀察數(shù)據(jù)知：
當(dāng)0≤t≤8時，y隨t的增大而減�。�
當(dāng)9≤t≤20時，y隨t的增大而增大；
故y在第8秒到第9秒之間取得最小值．

點評：本題主要考查了三角形相似及相似圖形性質(zhì)等問題，（2）②是一道非常新穎的考點，它考察了考生對函數(shù)本身的理解，作為未知函數(shù)類型如何探索其變化趨勢是非常需要學(xué)生能力的．總體來說，本題是一道非常好、非常新的題目．