Question

2．2013年上半年，某種農產品受不良炒作的影響，價格一路上揚．8月初國家實施調控措施后，該農產品的價格開始回落．其中：
1～7月份，該農產品的月平均價格y元/千克與月份x呈一次函數關系；
7～12月份，月平均價袼y元/千克與月份x呈二次函數關系．
已知1月、7月、9月和12月這四個月的月平均價格分別為8元/千克、26元/千克、14元/千克、11元/千克．
（1）分別求出當1≤x≤7和7≤x≤12時，y關于x的函數關系式；
（2）2013年的12個月中這種農產品的月平均價格最低為多少？
（3）若以12個月份的月平均價格的平均數為年平均價格，月平均價格高于年平均價格的月份有哪些？

Answer 1

分析 （1）根據自變量的不同取值范圍內不同的函數關系設出不同的函數的解析式，利用待定系數法求得函數的解析式即可；
（2）根據一次函數的增減性和二次函數的最值確定該農產品的最低月份和最低價格即可；
（3）分別計算5個月的平均價格和年平均價格，比較得到結論即可．

解答 解：（1）當1≤x≤7時，設y=kx+m
將點（1，8）、（7，26）分別代入y=kx+m得：
$\left\{\begin{array}{l}{k+m=8}\\{7k+m=26}\end{array}\right.$
解之得：
$\left\{\begin{array}{l}{m=5}\\{k=3}\end{array}\right.$
∴函數的解析式為：y=3x+5
當7≤x≤12時，設y=ax²+bx+c
將點（7，26）、（9，14）、（12，11）代入y=ax²+bx+c
得
$\left\{\begin{array}{l}{49a+7b+c=26}\\{81a+9b+c=14}\\{144a+12b+c=11}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-22}\\{c=131}\end{array}\right.$
∴函數的解析式為y=x²-22x+131；
（2）當1≤x≤7時，y=3x+5為增函數，
當x=1時，y有最小值8．
當7≤x≤12時，y=x²-22x+131=（x-11）²+10，
當x=11時，y有最小值為10．
所以，該農產品月平均價格最低的是1月，最低為8元/千克．
（3）∵1至7月份的月平均價格呈一次函數，
∴x=4時的月平均價格17是前7個月的平均值．
將x=8，x=10和x=11代入y=x²-22x+131
得y=19和y=11，y=10
∴后5個月的月平均價格分別為19、14、11、10、11，
∴年平均價格為$\frac{17×7+19+14+11+10+11}{12}$≈15.3元/千克，
當x=3時，y=14＜15.3，
∴4，5，6，7，8這五個月的月平均價格高于年平均價格．

點評 本題考查了二次函數的應用，解決此類問題的關鍵是從實際問題中整理出函數模型，利用函數的知識解決實際問題．