Question

在△ABC中，∠C=90，∠B=30°，ED是線段AB的中垂線，BD=2cm，求△ABC的周長．

Answer 1

考點：線段垂直平分線的性質(zhì),含30度角的直角三角形

專題：

分析：分①點D在AB上時，求出AB，再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC，利用勾股定理列式求出BC，然后根據(jù)三角形周長的定義列式計算即可得解；②點D在BC上時，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出DE，再利用勾股定理列式計算求出BE，然后求出AB，再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC，利用勾股定理列式求出BC，然后根據(jù)三角形周長的定義列式計算即可得解．

解答：解：①點D在AB上時，如圖1，
∵BD=2cm，ED是線段AB的中垂線，
∴AB=2BD=2×2=4cm，
∵∠C=90，∠B=30°，
∴AC=

1

2

AB=

1

2

×4=2cm，
由勾股定理得，BC=

AB2-AC2

=

42-22

=2

3

cm，
∴△ABC的周長=4+2

3

+2=（6+2

3

）cm；
②點D在BC上時，如圖2，
∵BD=2cm，∠B=30°，ED是線段AB的中垂線，
∴DE=

1

2

BD=

1

2

×2=1cm，
由勾股定理得，BE=

BD2-DE2

=

22-12

=

3

cm，
∵ED是線段AB的中垂線，
∴AB=2BE=2

3

cm，
∵∠C=90，∠B=30°，
∴AC=

1

2

AB=

1

2

×2

3

=

3

cm，
由勾股定理得，BC=

AB2-AC2

=

(2 3 )2-( 3 )2

=3cm，
∴△ABC的周長=2

3

+3+

3

=（3+3

3

）cm；
綜上所述，△ABC的周長為（6+2

3

）cm或（3+3

3

）cm．

點評：本題考查了線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，難點在于分情況討論，作出圖形更形象直觀．