Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=

1

2

x+1與拋物線y=

1

2

x²-

1

2

x-3交于A、B兩點(diǎn)，A（-2，0），B（4，3），P為AB下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B）重合，過(guò)P作x軸的垂線交AB于點(diǎn)C，作PD⊥AB于點(diǎn)D．是否存在點(diǎn)P，使PC把△PDB分為的兩個(gè)三角形面積之比為3：5？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：求出直線AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再求出∠ACP的余弦和正弦，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥PC于F，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，表示出PC，再利用∠ACP的余弦和正弦表示出DF，再表示出點(diǎn)B到PC的距離，然后根據(jù)PC分成的兩個(gè)三角形的面積關(guān)系分兩種情況列方程求出m，在待人拋物線求出橫坐標(biāo)，即可得解．

解答：解：令x=0，則y=1，
所以，直線y=

1

2

x+1與y軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，1），
由勾股定理得，AE=

22+12

=

5

，
所以，cos∠ACP=

1

5

，
sin∠ACP=

2

5

，
過(guò)點(diǎn)D作DF⊥PC于F，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，
則PC=

1

2

m+1-（

1

2

m²-

1

2

m-3）=-

1

2

m²+m+4，
所以，CD=PC•cos∠ACP=

1

5

（-

1

2

m²+m+4），
DF=CD•sin∠ACP=

2

5

×

1

5

（-

1

2

m²+m+4）=-

1

5

（m²-2m-8），
又∵點(diǎn)B到PC的距離為（4-m），
∴△PCD和△PCB的面積的比=-

1

5

（m²-2m-8）：（4-m）=

m+2

5

，
當(dāng)S_△PCD：S_△PCB=3：5時(shí)，

m+2

5

=

3

5

，
解得m=1，
此時(shí)，

1

2

m²-

1

2

m-3=

1

2

×1²-

1

2

×1-3=-3，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-3），
當(dāng)S_△PCB：S_△PCD=3：5時(shí)，

m+2

5

=

5

3

，
解得m=

19

3

，
∵

19

3

＞4，
∴點(diǎn)P在點(diǎn)B的右邊，不在直線AB的下方，不符合題意舍去，
綜上所述，存在P（1，-3），使PC把△PDB分為的兩個(gè)三角形面積之比為3：5．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了銳角三角函數(shù)的定義，三角形的面積，根據(jù)等底的三角形的面積的比等于高的比利用點(diǎn)B、D到AC的距離表示出兩個(gè)三角形的面積的比是解題的關(guān)鍵．