Question

18．如圖，AB是⊙O的直徑，DF⊥AB于點(diǎn)D，交弦AC于點(diǎn)E，F(xiàn)C=FE．
（1）求證：FC是⊙O的切線．
（2）若D為半徑OA的中點(diǎn)，F(xiàn)D交⊙O于點(diǎn)G，求∠ACG的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出∠FCE=∠FEC，∠OCA=∠OAC，求出∠FCO=∠FDO=90°，根據(jù)切線的判定得出即可；
（2）連接OG，求出OG=2OD，求出∠GOD=60°，根據(jù)圓周角定理得出∠ACG=$\frac{1}{2}$∠GOA，即可得出答案．

解答 （1）證明：∵FC=FE，OA=OC，
∴∠FCE=∠FEC，∠OCA=∠OAC，
∵∠AED=∠FEC，
∴∠AED=∠FCE，
∴∠FCE+∠OCA=∠AED+∠OAC，
∴∠FCO=∠FDO，
∵FD⊥AB，
∴∠FDO=90°，
∴∠FCO=90°，
∵OC為半徑，
∴FC是⊙O的切線；

（2）解：連接OG，
∵D為OA的中點(diǎn)，
∴OA=OG=2OD，
∴FD⊥OA，
∴∠GDO=90°，
∴∠DGO=30°，
∴∠GOA=90°-30°=60°，
∴∠ACG=$\frac{1}{2}$∠GOA=30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定，含30°角的直角三角形性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，注意：經(jīng)過(guò)半徑的外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．