Question

2．如圖，直線y=2x-6與拋物線y=2x²+bx+c相交于A，B兩點，點A在x軸上，點B在y軸上，點P在直線AB下方的拋物線上，過P點分別作PM∥x軸交AB于M點，PN∥y軸交AB于N點，以PM、PN為邊作矩形PMQN，設(shè)點Q的坐標(biāo)為（m，n）．
（1）求b，c的值；
（2）求m與n的函數(shù)關(guān)系式；
（3）確定點P的位置，使矩形PMQN的周長最大，并求出這個最大值．

Answer 1

分析 （1）先求得點A、B的坐標(biāo)，然后將點A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到關(guān)于b，c的方程組，解方程組可得到b，c的值；
（2）先得到拋物線的解析式，設(shè)P（a，2a²-4a-6），則N（a，2a-6），M（m，2m-6），然后依據(jù)與坐標(biāo)軸平行的直線上點的坐標(biāo)特點可得到n=2a-6①，2m-6=2a²-4a-6②，然后消去字母a可得到m與n之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）依據(jù)題意可知PM=$\frac{1}{2}$PN，則矩形QMPN的周長=3PN．設(shè)P（a，2a²-4a-6），則N（a，2a-6），然后得到PN與a的函數(shù)關(guān)系式，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．

解答 解：（1）將x=0代入y=2x-6得y=-6，則B（0，-6）．
將y=0代入y=2x-6得：2x-6=0，解得：x=3，則A（3，0）．
將點B和點A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{18+3b+c=0}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
解得：b=-4，c=-6．
（2）∵b=-4，c=-6，
∴拋物線的解析式為y=2x²-4x-6．
設(shè)P（a，2a²-4a-6），則N（a，2a-6）．
∵Q（m，n），
∴M（m，2m-6）．
∵PN∥MQ，QA∥MP，
∴n=2a-6①，2m-6=2a²-4a-6②．
由①得：a=$\frac{n+6}{2}$③，m=a²-2a④．
將③代入④得：m=$\frac{1}{4}$n²+2n+3．
（3）∵A（3，0），B（0，-6），
∴OA=3，OB=6．
∴tan∠OBA=$\frac{1}{2}$．
∵PN∥OB，
∴tan∠PNM=$\frac{PM}{PN}$=$\frac{1}{2}$．
∴PM=$\frac{1}{2}$PN．
∴矩形QMPN的周長=2×（PM+PN）=2×$\frac{3}{2}$PN=3PN．
設(shè)P（a，2a²-4a-6），則N（a，2a-6），PN=2a-6-（2a²-4a-6）=-2（a-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{2}$．
∴當(dāng)a=$\frac{3}{2}$時，矩形的周長最大．
∴P（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{2}$）．
∴矩形的最大周長=3×$\frac{9}{2}$=$\frac{27}{2}$．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、銳角三角函數(shù)的定義，二次函數(shù)的性質(zhì)得到PN與a的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．