Question

用一根手指頂住一個(gè)平面圖形內(nèi)的某點(diǎn)，如果平面圖形能保持平衡，那么這個(gè)點(diǎn)叫這個(gè)平面圖形的重心，平行四邊形的中心是對(duì)角線的交點(diǎn)，三角形的重心是三條中線的交點(diǎn)．請(qǐng)你用如圖證明三角形的重心分一條中線成的兩條線段的比為1：2，即在△ABC中，BE，CD是兩條中線，它們交于G，求證：DG：CG=EG：BG=1：2．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的重心

專題：證明題

分析：如圖，連接AG，交DE于點(diǎn)H，延長(zhǎng)AG交BC于點(diǎn)E．根據(jù)三角形中位線定理得到DE=

1

2

BC，則HE=

1

2

BE．通過(guò)△HEG∽△EBG的對(duì)應(yīng)邊成比例證得結(jié)論．

解答：解：如圖，連接AG，交DE于點(diǎn)H，延長(zhǎng)AG交BC于點(diǎn)F．
∵點(diǎn)G是△ABC的重心，
∴點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)．
∴BF=FC．
∵D、E是AB、AC的中點(diǎn)，
∴DE是△ABC的中位線，
∴DE∥BC，DE=

1

2

BC，
∴HE∥BE，HE=

1

2

BF．
∴△HEG∽△FBG，
∴

GE

GB

=

HE

BF

=

1

2

，即EG：BG=1：2
同理 DG：CG=1：2．
∴DG：CG=EG：BG=1：2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的重心定理的證明，作輔助線構(gòu)造成三角形的中位線和相似三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．