Question

17．如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)開始沿邊BC向點(diǎn)C以4cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從C點(diǎn)開始沿邊CD向點(diǎn)D以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)多少秒后，三角形PCQ的面積達(dá)到$\frac{3}{2}$cm²？
（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)過程中三角形APQ的面積為y，試寫出面積y（cm²）與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（s）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍．
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，三角形APQ的面積最小，且最小面積是多少cm²？

Answer 1

分析 （1）設(shè)運(yùn)動(dòng)x秒后，三角形PCQ的面積達(dá)到$\frac{3}{2}$cm²，根據(jù)題意表示出BP、CQ，根據(jù)三角形的面積公式列出方程，解方程即可；
（2）根據(jù)y=S_{四邊形ABCD}-S_△ABP-S_△PCQ-S_△ADQ計(jì)算就即可；
（3）根據(jù)配方法把一般式化為頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答．

解答 解：（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)x秒后，三角形PCQ的面積達(dá)到$\frac{3}{2}$cm²，
由題意得，BP=4x，CQ=x，
則CP=8-4x，
則$\frac{1}{2}$×（8-4x）×x=$\frac{3}{2}$，
整理得，4x²-8x+3=0，
解得，x₁=$\frac{3}{2}$，x₂=$\frac{1}{2}$，
答：運(yùn)動(dòng)$\frac{3}{2}$或$\frac{1}{2}$秒后，三角形PCQ的面積達(dá)到$\frac{3}{2}$cm²；
（2）y=S_{四邊形ABCD}-S_△ABP-S_△PCQ-S_△ADQ
=48-$\frac{1}{2}$×4t×6-$\frac{1}{2}×$（8-4t）×t-$\frac{1}{2}×$8×（6-t）
=2t²-12t+24（0＜t≤2）；
（3）y=2t²-12t+24=2（x-3）²+6，
∵2＞0，
∴t≤3時(shí)，y隨t的增大而減小，
∴當(dāng)t=2時(shí)，三角形APQ的面積最小，最小面積是2×2²-12×2+24=8cm²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是矩形的性質(zhì)、函數(shù)解析式的求法和二次函數(shù)的性質(zhì)，靈活運(yùn)用配方法、掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．