Question

2．已知：如圖．BD=BC=2AC，∠DBC=∠ACB，CD交線段AB于點(diǎn)E．
（1）如圖①，當(dāng)∠ACB=90°時(shí)．則線段DE、CE之間的數(shù)量關(guān)系為DE=2CE；
（2）如圖②，當(dāng)∠ACB=120°時(shí)．試探究DE與CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明現(xiàn)由；
（3）如明③，在（2）的條件下，點(diǎn)F是邊BC的中點(diǎn)，連接DF，DF與AB交于點(diǎn)G，試探究DG與FG之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）易證△DEB∽△CEA，然后只需運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可解決問題；
（2）過點(diǎn)B作BH⊥DC于H，如圖2．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠D=∠BCD=30°，DH=CH，從而可得BH=AC，∠BHE=∠ACE，進(jìn)而可得△BHE≌△ACE，則有HE=CE，即可證到DE=3EC；
（3）延長(zhǎng)DF到點(diǎn)N，使得FN=DF，連接NB、NC，如圖3，易證四邊形DCNB是平行四邊形，從而可得DC∥BN，DC=BN，即可得到△DGE∽△NGB，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得DG與NG的比值，繼而求得答案．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，∠DBC=∠ACB，
∴∠DBC=90°，
∴∠DBC+∠ACB=180°，
∴DB∥AC，
∴△DEB∽△CEA，
∴$\frac{DE}{EC}$=$\frac{DB}{CA}$．
∵BD=BC=2AC，
∴DE=2CE；
故答案為：DE=2CE；

（2）猜想：DE=3CE．
理由：過點(diǎn)B作BH⊥DC于H，如圖2．
又∵BD=BC，∠DBC=∠ACB=120°，
∴∠D=∠BCD=30°，DH=CH，
∴DB=2BH，∠ACE=90°，
∴BH=AC，∠BHE=∠ACE．
在△BHE和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BHE=∠ACE}\\{∠BEH=∠AEC}\\{BH=AC}\end{array}\right.$，
∴△BHE≌△ACE，
∴HE=CE，
∴DH=HC=2EC，
∴DE=DH+HE=2EC+EC=3EC；

（3）延長(zhǎng)DF到點(diǎn)N，使得FN=DF，連接NB、NC，如圖3，
∵BF=CF，F(xiàn)N=DF，
∴四邊形DCNB是平行四邊形，
∴DC∥BN，DC=BN，
∴△DGE∽△NGB，$\frac{DE}{BN}$=$\frac{3EC}{4EC}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{DG}{NG}$=$\frac{DE}{NB}$=$\frac{3}{4}$．
設(shè)DG=3k，則有NG=4k，DN=7k，
∴DF=$\frac{1}{2}$DN=$\frac{7k}{2}$，
∴GF=DF-DG=$\frac{7k}{2}$-3k=$\frac{1}{2}$k，
∴DG=6GF．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于相似三角形的綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的判定與性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．