Question

16．如圖，拋物線y=x²+x-2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)A，點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，求PB+PC的值最小時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)M是直線AC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ABCM面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可解決問題．
（2）連接AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．求出直線AC的解析式即可解決問題．
（3）過點(diǎn)M作MN丄x軸與點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)M（x，x²+x-2），則AN=x+2，0N=-x，0B=1，0C=2，MN=-（x²+x-2）=-x²-x+2，根據(jù)S _{四邊形ABCM}=S_△AOM+S_△OCM+S_△BOC構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．

解答 解：（1）由 y=0，得 x²+x-2=0 解得 x=-2 x=l，
∴A（-2，0），B（l，0），
由 x=0，得 y=-2，
∴C（0，-2）．

（2）連接AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．

設(shè)直線 AC 為 y=kx+b，則-2k+b=0，b=-2：得 k=-l，y=-x-2．
對(duì)稱軸為 x=-$\frac{1}{2}$，當(dāng) x=-$\frac{1}{2}$時(shí)，y=^_（-$\frac{1}{2}$）-2=-$\frac{3}{2}$，
∴P（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．

（3）過點(diǎn)M作MN丄x軸與點(diǎn)N，

設(shè)點(diǎn)M（x，x²+x-2），則AN=x+2，0N=-x，0B=1，0C=2，MN=-（x²+x-2）=-x²-x+2，
S _{四邊形ABCM}=S_△AOM+S_△OCM+S_△BOC=$\frac{1}{2}$（x+2）（-x²-x+2）+$\frac{1}{2}$（2-x²-x+2）（-x）+$\frac{1}{2}$×1×2
=-x²-2x+3
=-（x+1）²+4．
∵-1＜0，
∴當(dāng)x=^_l時(shí)，S_{四邊形ABCM}的最大值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、兩點(diǎn)之間線段最短、最值問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)利用對(duì)稱解決在性質(zhì)問題，學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，屬于中考�？碱}型．