Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的直角頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3），點(diǎn)C和點(diǎn)P分別為直角邊OA、斜邊OB上的動(dòng)點(diǎn)，則PA+PC的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題,坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專題：

分析：作A關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D，過(guò)D作DC⊥OA于C，此時(shí)PA+PC的值最小，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)求出CD，即可得出答案．

解答：解：作A關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)D，過(guò)D作DC⊥OA于C交OB于P，
則此時(shí)PA+PC=的值最小，
∵DP=PA，
∴PA+PC=PD+PC=CD，
∵B（4，3），
∴OB=5，
∵∠AMB=∠OAB=90°，∠ABM=∠OBA，
∴△ABM∽△OBA，
∴

AM

OA

=

AB

OB

，
∴AM=

4×3

5

=

12

5

，
∴AD=

24

5

，
∵∠DAC+∠MAB=∠B+∠MAB=90°，
∴∠DAC=∠B，
∵∠DCA=∠AMB=90°，
∴△ADC∽△ABM，
∴

DC

AM

=

AD

AB

，
即

DC

12 5

=

24 5

3

，
解得CD=

96

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，勾股定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是求出P點(diǎn)的位置，題目比較好，難度適中．