Question

在菱形ABCD中，點Q是對角線DB上一點，連接CQ并延長，交AD于點E，交BA的延長線于點F，連接AQ．
（1）求證：∠QAD=∠QCD；
（2）若菱形的邊長為2，QF=2CQ，QA⊥FB，求BQ的長．

Answer 1

考點：菱形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)菱形性質(zhì)得出DC=AD，∠CDQ=∠ADQ，根據(jù)SAS推出△CDQ≌△ADQ即可；
（2）證△DQC∽△BQF，求出CQ的長，求出AQ長，根據(jù)勾股定理即可求出答案．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴DC=AD，∠CDQ=∠ADQ，
在△CDQ和△ADQ中

DQ=DQ ∠CDQ=∠ADQ DC=AD

∴△CDQ≌△ADQ（SAS），
∴∠QAD=∠QCD；

（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴DC=AB=2，DC∥AB，
∴△DQC∽△BQF，
∴

DC

BF

=

CQ

QF

，
∵DC=AB=2，QF=2CQ，
∴BF=2DC=4，
∴AF=4-2=2，
在Rt△QAF中，由勾股定理得：QF²=AQ²+AF²，
∴（2CQ）²=CQ²+2²，
∴CQ=

2 3

3

，
即AQ=CQ=

2 3

3

，
在Rt△QAB中，BQ=

AQ2+AB2

=

( 2 3 3 )2+22

=

4 3

3

．

點評：本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應用，求出△CDQ≌△ADQ和得出關(guān)于CQ的方程是解此題的關(guān)鍵．