Question

1．【問(wèn)題】
在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)E在直線BC上（B，C除外），分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)E和點(diǎn)B作AE和AB的垂線，兩條垂線交于點(diǎn)F，研究AE和EF的數(shù)量關(guān)系．
【探究發(fā)現(xiàn)】
某數(shù)學(xué)興趣小組在探究AE，EF的關(guān)系時(shí)，運(yùn)用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，他們發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，只需要取AC邊的中點(diǎn)G（如圖1），通過(guò)推理證明就可以得到AE和EF的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你按照這種思路直接寫(xiě)出AE和EF的數(shù)量關(guān)系；
【數(shù)學(xué)思考】
那么當(dāng)點(diǎn)E是直線BC上（B，C除外）（其它條件不變），上面得到的結(jié)論是否仍然成立呢？請(qǐng)你從“點(diǎn)E在線段BC上”；“點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線”；“點(diǎn)E在線段BC的反向延長(zhǎng)線上”三種情況中，任選一種情況，在圖2中畫(huà)出圖形，并證明你的結(jié)論；
【拓展應(yīng)用】
當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，若BE=nBC（0＜n＜1），請(qǐng)直接寫(xiě)出S_△ABC：S_△AEF的值．

Answer 1

分析 【數(shù)學(xué)思考】在AC上截取CG=CE，連接GE，證明△AGE≌△EBF，得到答案；
【拓展應(yīng)用】設(shè)BC=1，則BE=n，根據(jù)勾股定理求出AE²，根據(jù)等腰直角三角形的面積公式求解即可．

解答 解：
【探究發(fā)現(xiàn)】：相等；
【數(shù)學(xué)思考】
證明：如圖2，點(diǎn)E在線段BC上，
在AC上截取CG=CE，連接GE，
∵∠ACB=90°，
∴∠CGE=∠CEG=45°，
∵AE⊥EF，AB⊥BF，
∴∠AEF=∠ABF=∠ACB=90°，
∴∠FEB+∠AEF=∠AEB=∠EAC+∠ACB．
∴∠FEB=∠EAC．
∵CA=CB，
∴AG=BE，∠CBA=∠CAB=45°．
∴∠AGE=∠EBF=135°．
在△AGE和△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGE=∠EBF}\\{AG=BE}\\{∠EAG=∠FEB}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△EBF．
∴AE=EF；
【拓展應(yīng)用】
設(shè)BC=1，則BE=n，
AE²=AC²+CE²=1+（n+1）²=n²+2n+2，
∵△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$BC²，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴△AEF的面積$\frac{1}{2}$AE²，
∴S_△ABC：S_△AEF=$\frac{\frac{1}{2}B{C}^{2}}{\frac{1}{2}A{E}^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}+2n+2}$，
∴S_△ABC：S_△AEF=1：（n²+2n+2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是相似三角形的知識(shí)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、運(yùn)靈活用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想是解題的關(guān)鍵．