Question

20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-2x+10與x軸、y軸相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（8，4），連接AC、BC．
（1）求過O、A、C三點(diǎn)的拋物線的解析式．
（2）通過計(jì)算AB、AC、BC的長度判斷△ABC的形狀．
（3）動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿OB以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)B移動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，規(guī)定其中一個動點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，當(dāng)t為何值時，PA=QA．

Answer 1

分析 （1）利用坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)確定出點(diǎn)A，B坐標(biāo)，進(jìn)而用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；
（2）求出AB²，AC²，BC²進(jìn)而利用勾股定理逆定理即可得出結(jié)論；
（3）先根據(jù)勾股定理得出PA²=4t²+25，QA²=（10-t）²+5²．進(jìn)而建立方程求解即可．

解答 解：（1）設(shè)過O、A、C三點(diǎn)的拋物線解析式為y=ax²+bx+c．
∵直線y=-2x+10與x軸，y軸相交于A、B兩點(diǎn)，
∴點(diǎn)A（5，0）和點(diǎn)B（0，10）．
又∵C點(diǎn)坐標(biāo)為（8，4），
將O、A、C三點(diǎn)代入拋物線解析式為y=ax²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{25a+5b+c=0}\\{64a+8b+c=4}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{1}{6}$，b=-$\frac{5}{6}$，c=0．
∴所求拋物線解析式為y=$\frac{1}{6}$x²-$\frac{5}{6}$x．

（2）直角三角形，
理由：如圖，由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)得OA=5，OB=10，
由勾股定理得AB²=OA²+OB²，
∴AB²=125．
過C點(diǎn)作CD⊥x軸于D，作CE⊥y軸于E，
∵C點(diǎn)坐標(biāo)為（8，4），
∴CD=4，CE=8，BE=10-4=6，AD=8-5=3．
由勾股定理得AC²=CD²+AD²=4²+3²=25．
∴AC=5．
∵BC²=BE²+CE²=6²+8²=100，
∴BC²+AC²=100+25=AB²，
∴由勾股定理得∠ACB=90°．
∴△ABC是直角三角形；

（3）由題意得動點(diǎn)運(yùn)動t秒后，OP=2t，BQ=t，CQ=10-t．
由勾股定理得PA²=OP²+OA²=4t²+25，QA²=QC²+AC²=（10-t）²+5²．
∵PA=QA，
∴PA²=QA²．
∴4t²+25=（10-t）²+5²．
解得t₁=$\frac{10}{3}$，t₂=-10．（舍去）．
∴動點(diǎn)運(yùn)動$\frac{10}{3}$秒時，PA=QA．

點(diǎn)評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，勾股定理和逆定理，方程的思想，解（1）的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，解（2）的關(guān)鍵是求出AB²，AC²，BC²，解（3）關(guān)鍵是表示出PA²=4t²+25，QA²=（10-t）²+5²．