Question

7．如圖1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2，點(diǎn)O是邊AC上一動點(diǎn)，⊙O切AB于點(diǎn)D．
（1）當(dāng)⊙O與BC相切時，求⊙O的半徑；
（2）當(dāng)點(diǎn)C落在⊙O上時，求⊙O的半徑；
（3）如圖2，在AB邊上取點(diǎn)E，使得BE=AD，以EB為邊向下作矩形EGHB，EB：BH=1：$\sqrt{3}$，作直線EH
①當(dāng)O，E，H三點(diǎn)共線時，求⊙O的半徑；
②直線EH與⊙O相切時，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，當(dāng)⊙O與BC相切時，設(shè)點(diǎn)E為切點(diǎn)，連接OD、OE，只要證明四邊形ODBE是正方形即可解決問題．
（2）如圖2中，當(dāng)⊙O經(jīng)過點(diǎn)C時，設(shè)半徑為r，由OA+OC=AC列出方程即可解決問題．
（3）①如圖3中，連接OD，設(shè)半徑為r，由AD+DE+EB=2，列出方程即可解決．
②如圖4中，當(dāng)EH與⊙O相切于點(diǎn)M，連接OD，OM，OE．設(shè)半徑為r，由AD+DE+EB=2，列出方程即可解決．如圖5中，設(shè)⊙O的半徑為r，EH與⊙O相切于點(diǎn)M，連接OM，OD，OE，由AE+ED+EB=2，列出方程即可解決．

解答 解：（1）如圖1中，當(dāng)⊙O與BC相切時，設(shè)點(diǎn)E為切點(diǎn)，連接OD、OE．

∵∠ODB=∠OEB=∠B=90°，
∴四邊形ODBE是矩形，
∵OD=OE，
∴四邊形ODBE是正方形，
∴DB=OE=OD，
∵BA=BC=2，
∴∠A=∠AOD=45°，
∴AD=OD，
∴AD=DB=1，
∴OD=1，

（2）如圖2中，當(dāng)⊙O經(jīng)過點(diǎn)C時，設(shè)半徑為r，由OA+OC=AC，可得$\sqrt{2}$r+r=2$\sqrt{2}$，
∴r=4-2$\sqrt{2}$．


（3）①如圖3中，連接OD．

∵EB：BH=1：$\sqrt{3}$，
∴∠BEH=∠ODE=60°，設(shè)半徑為r，
∵AD+DE+EB=2，
∴r+$\frac{\sqrt{3}}{3}$r+r=2，
∴r=$\frac{12-2\sqrt{3}}{11}$．

②如圖4中，當(dāng)EH與⊙O相切于點(diǎn)M，連接OD，OM，OE．設(shè)半徑為r．

∵OD=OM，OD⊥EA，OM⊥ME，
∴∠OED=∠OEM=30°，
∵AD+DE+EB=2，
∴r+$\sqrt{3}$r+r=2，
∴r=4-2$\sqrt{3}$．
如圖5中，設(shè)⊙O的半徑為r，EH與⊙O相切于點(diǎn)M，連接OM，OD，OE．

∵OM=OD，OM⊥EM，OD⊥DE，
∴∠OEM=∠OED=60°，
∵AE+ED+EB=2，
∴2r-$\frac{\sqrt{3}}{3}$r=2，
∴r=$\frac{12+2\sqrt{3}}{11}$．

點(diǎn)評 本題考查圓的綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為方程解決，屬于中考壓軸題．