Question

19．如圖1，已知點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（0，-2），AD與y軸交于點(diǎn)E，且E為AD的中點(diǎn)，雙曲線y=$\frac{k}{x}$經(jīng)過(guò)C，D兩點(diǎn)且D（a，4）、C（2，b）．
（1）求a、b、k的值；
（2）如圖2，線段CD能通過(guò)旋轉(zhuǎn)一定角度后點(diǎn)C、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′、D′還能落在y=$\frac{k}{x}$的圖象上嗎？如果能，寫(xiě)出你是如何旋轉(zhuǎn)的，如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖3，點(diǎn)P在雙曲線y=$\frac{k}{x}$上，點(diǎn)Q在y軸上，若以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，試求滿足要求的所有點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）如圖1，過(guò)點(diǎn)D做DP⊥y軸于點(diǎn)P，由△PDE≌△OAE（ASA），PD=OA，求出點(diǎn)D坐標(biāo)，即可解決問(wèn)題；
（2）能，點(diǎn)C、D繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180度時(shí)，點(diǎn)C′、D′落在y=$\frac{4}{x}$圖象上．或點(diǎn)C、D關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)在圖象上；
（3）分兩種情形分別求解①當(dāng)AB為邊時(shí)，如圖1中，若四邊形ABPQ為平行四邊形，則$\frac{-1+x}{2}$=0；如圖2中，若四邊形ABQP是平行四邊形時(shí)，AP=BQ，且AP∥BQ，求點(diǎn)P坐標(biāo)，即可解決問(wèn)題；②如圖3中，當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，AP=BQ，AP∥BQ，求出點(diǎn)P坐標(biāo)，即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)D做DP⊥y軸于點(diǎn)P，

∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，
∴AE=DE．
又∵DP⊥y軸，∠AOE=90°，
∴∠DPE=∠AEO．
∵在△PDE與△OAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DPE=∠AOE}\\{PE=OE}\\{∠PED=∠OEA}\end{array}\right.$，
∴△PDE≌△OAE（ASA），
∴PD=OA，
∵A（-1，0），
∴PD=1，
∴D（1，4）．
∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)圖象上，
∴k=xy=1×4=4．
∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)圖象上，C的坐標(biāo)為（2，b），
∴b=$\frac{4}{2}$=2，
∴a=1，k=4，b=2；

（2）能，點(diǎn)C、D繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180度時(shí)，點(diǎn)C′、D′落在y=$\frac{4}{x}$圖象上．或點(diǎn)C、D關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)在圖象上；

（3）∵由（1）可知k=4，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{4}{x}$，
∵點(diǎn)P在y=$\frac{4}{x}$上，點(diǎn)Q在y軸上，
∴設(shè)Q（0，y），P（x，$\frac{4}{x}$）．
①當(dāng)AB為邊時(shí)，如圖1中，若四邊形ABPQ為平行四邊形，則$\frac{-1+x}{2}$=0，

解得x=1，此時(shí)P₁（1，4），Q₁（0，6）．
如圖2中，若四邊形ABQP是平行四邊形時(shí)，AP=BQ，且AP∥BQ，

此時(shí)P₂（-1，-4），Q₂（0，-6）．

②如圖3中，當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，AP=BQ，AP∥BQ，

此時(shí)P₃（-1，-4），Q₃（0，2），
綜上所述，滿足條件的P、Q坐標(biāo)分別為P₁（1，4），Q₁（0，6）；P₂（-1，-4），Q₂（0，-6）；P₃（-1，-4），Q₃（0，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查反比例函數(shù)綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．