Question

如圖，△ABC中，AB=AC=4

5

，cosC=

5

5

．
（1）動手操作：利用尺規(guī)作以AC為直徑的⊙O，并標(biāo)出⊙O與AB的交點D，與BC的交點E（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）綜合應(yīng)用：在你所作的圖中，
①求證：

DE

=

CE

；
②求點D到BC的距離．

Answer 1

考點：作圖—復(fù)雜作圖,勾股定理的應(yīng)用,相似三角形的應(yīng)用

專題：作圖題,證明題

分析：（1）先作出AC的中垂線，再畫圓．
（2）邊接AE，AE是BC的中垂線，∠DAE=∠CAE，得出

DE

=

CE

；
（3）利用△BDE∽△BCA求出BD，再利用余弦求出BM，用勾股定理求出DM．

解答：解：（1）如圖


（2）如圖，連接AE，

∵AC為直徑，
∴∠AEC=90°，
∵AB=AC，
∴∠DAE=∠CAE，
∴

DE

=

CE

；

（3）如圖，連接AE，DE，作DM⊥BC交BC于點M，

∵AC為直徑，
∴∠AEC=90°，
∵AB=AC=4

5

，cosC=

5

5

．
∴EC=BE=4，
∴BC=8，
∵點A、D、E、C共圓
∴∠ADE+∠C=180°，
又∵∠ADE+∠BDE=180°，
∴∠BDE=∠C，
∴△BDE∽△BCA，
∴

BD

BC

=

BE

AB

，即BD•BA=BE•BC
∴BD×4

5

=4×8
∴BD=

8 5

5

，
∵∠B=∠C
∴cos∠C=cos∠B=

5

5

，
∴

BM

8 5 5

=

5

5

，
∴BM=

8

5

，
∴DM=

BD2-BM2

=

( 8 5 5 )2-( 8 5 )2

=

16

5

．

點評：本題主要考查了復(fù)雜的作圖，相似三角形以及勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是運用△BDE∽△BCA求出線段的長．