Question

如圖所示，CF、BE是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，
（1）試說明AP與AQ的關(guān)系；
（2）題中的△ABC改為鈍角三角形，其它條件不變，上述結(jié)論還正確嗎？請畫圖并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：常規(guī)題型

分析：（1）根據(jù)題干給出條件可以求得∠ABE=∠ACQ，可證△ACQ≌△PBA，可得AP=AQ；
（2）按照題意作出圖形，可以求得∠ABE=∠ACQ，可證△ACQ≌△PBA，可得AP=AQ；

解答：解：（1）∵CF、BE是△ABC的高，
∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ACQ+∠BAE=90°，
∴∠ABE=∠ACQ，
∵在△ACQ和△PBA中

BP=AC ∠ABE=∠ACQ CQ=AB

，
∴△ACQ≌△PBA，（SAS）
∴AP=AQ，∠Q=∠BAP，
∵∠Q+∠QAB=90°，
∴∠BAP+∠QAB=90°，
∴AP⊥AQ；
（2）

∵CF、BE是△ABC的高，∠ABE+∠AEB=∠BAC，∠ACQ+∠AFC=90°，
∴∠ABE=∠ACQ，
∵在△ACQ和△PBA中

BP=AC ∠ABE=∠ACQ CQ=AB

，
∴△ACQ≌△PBA，（SAS）
∴AP=AQ，∠P=∠CAQ，
∵∠P+∠PAE=90°，
∴∠CAQ+∠PAE=90°，
∴∠PAQ=90°，
∴PA⊥AQ．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△ACQ≌△PBA是解題的關(guān)鍵．