Question

10．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，點(diǎn)P是直線AD上一點(diǎn)，若滿足△PBC是等腰三角形的點(diǎn)P有且只有3個(gè)，則AD的長(zhǎng)為3或2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 要求直線AD上滿足△PBC是等腰三角形的點(diǎn)P有且只有3個(gè)時(shí)的AB長(zhǎng)，則需要分類討論：①當(dāng)AB=AD時(shí)；②當(dāng)AB＜AD時(shí)，③當(dāng)AB＞AD時(shí)．

解答 解：①如圖，當(dāng)AB=AD時(shí)

滿足△PBC是等腰三角形的點(diǎn)P有且只有3個(gè)，
△P₁BC，△P₂BC是等腰直角三角形，△P₃BC是等腰直角三角形（P₃B=P₃C），
則AB=AD=3．

②當(dāng)AB＜AD，且滿足△PBC是等腰三角形的點(diǎn)P有且只有3個(gè)時(shí)，如圖，

易知P₂是AD的中點(diǎn)，BC=BP₁=BP₂=CP₂=CP₃，
此時(shí)易知△P₂BC是等邊三角形，
在Rt△ABP₂中，∵AB=3，∠ABP₂=30°，
∴AP₂=AB•tan30°=$\sqrt{3}$，
∴BC=AD=2AP₂=2$\sqrt{3}$
③當(dāng)AB＞AD時(shí)，直線AD上只有一個(gè)點(diǎn)P滿足△PBC是等腰三角形．
故答案為：3或2 $\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，屬于中考�？碱}型．