Question

18．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，點D是BC上一動點，連接AD，將△ACD沿AD折疊，點C落在點E處，連接DE交AB于點F，當△DEB是直角三角形時，DF的長為$\frac{3}{2}$或$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 點E與點C′重合時．在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC=4，由翻折的性質(zhì)可知：AE=AC=3，DC=DE．則EB=2．設DC=ED=x，則BD=4-x．在Rt△DBE中，依據(jù)勾股定理列方程求解即可；當∠EDB=90時．由翻折的性質(zhì)可知：AC=AE，∠C=∠AED=90°，然后證明四邊形ACDE為正方形，從而求得DB=1，然后證明DF∥AC，△BDF∽△BCA，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得DF=$\frac{3}{4}$．

解答 解：如圖1所示；點E與點F重合時．
在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4．
由翻折的性質(zhì)可知；AE=AC=3、DC=DE．則EB=2．
設DC=ED=x，則BD=4-x．
在Rt△DBE中，DE²+BE²=DB²，即x²+2²=（4-x）²．
解得：x=$\frac{3}{2}$．
∴DE=$\frac{3}{2}$．
如圖2所示：∠EDB=90時．
由翻折的性質(zhì)可知：AC=AE，∠C=∠AED=90°．
∵∠C=∠AED=∠CDE=90°，
∴四邊形ACDE為矩形．
又∵AC=AE，
∴四邊形ACE′為正方形．
∴CD=AC=3．
∴DB=BC-DC=4-3=1．
∵DF∥AC，
∴△BDF∽△BCA．
∴$\frac{DF}{AC}=\frac{DB}{CB}$=$\frac{1}{4}$，即$\frac{DF}{3}=\frac{1}{4}$．
解得：DF=$\frac{3}{4}$．
點D在CB上運動，∠DBC′＜90°，故∠DBC′不可能為直角．
故答案為：$\frac{3}{2}$或$\frac{3}{4}$．

點評 本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、勾股定理、正方形的判定、相似三角形的性質(zhì)和判定，根據(jù)題意畫出符合題意的圖形是解題的關鍵．