Question

14．如圖，四邊形ABCD為正方形，點A的坐標為（0，1），點B的坐標為（0，-2），反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象經過點C，一次函數y=ax+b的圖象經過A、C兩點
（1）求反比例函數與一次函數的解析式；
（2）求反比例函數與一次函數的另一個交點M的坐標；
（3）若點P是反比例函數圖象上的一點，△OAP的面積恰好等于正方形ABCD的面積，求P點的坐標．

Answer 1

分析 （1）先根據A點和B點坐標得到正方形的邊長，則BC=3，于是可得到C（3，-2），然后利用待定系數法求反比例函數與一次函數的解析式；
（2）通過解關于反比例函數解析式與一次函數的解析式所組成的方程組可得到M點的坐標；
（3）設P（t，-$\frac{6}{t}$），根據三角形面積公式和正方形面積公式得到$\frac{1}{2}$×1×|t|=3×3，然后解絕對值方程求出t即可得到P點坐標．

解答 解：（1）∵點A的坐標為（0，1），點B的坐標為（0，-2），
∴AB=1+2=3，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴Bc=3，
∴C（3，-2），
把C（3，-2）代入y=$\frac{k}{x}$得k=3×（-2）=-6，
∴反比例函數解析式為y=-$\frac{6}{x}$，
把C（3，-2），A（0，1）代入y=ax+b得$\left\{\begin{array}{l}{3a+b=-2}\\{b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴一次函數解析式為y=-x+1；
（2）解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y=-\frac{6}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴M點的坐標為（-2，3）；
（3）設P（t，-$\frac{6}{t}$），
∵△OAP的面積恰好等于正方形ABCD的面積，
∴$\frac{1}{2}$×1×|t|=3×3，解得t=18或t=-18，
∴P點坐標為（18，-$\frac{1}{3}$）或（-18，$\frac{1}{3}$）．

點評 本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：求反比例函數與一次函數的交點坐標，把兩個函數關系式聯立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．