Question

4．已知一個正比例函數(shù)和一個一次函數(shù)的圖象交于點P（-2，2），且一次函數(shù)圖象與y軸交于點Q（0，4）．
（1）求這兩個函數(shù)的解析式；
（2）在同一坐標(biāo)系中，分別畫出這兩個函數(shù)的圖象；
（3）在x軸上找點E，使得PE+QE的值最小，并求出其最小值和點E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)正比例函數(shù)解析式為y=mx，一次函數(shù)解析式為y=nx+4，將（-2，2）代入可得出兩個解析式．
（2）運(yùn)用兩點法確定直線所在的位置．
（3）點Q關(guān)于x軸的對稱點為Q′（0，-4），P、Q′連接P、Q′與x軸的交點為E，根據(jù)對稱的性質(zhì)可知QE=Q′E，此時PE+QE的值最�。�

解答 解：（1）設(shè)正比例函數(shù)解析式為y=mx，一次函數(shù)解析式為y=nx+4，
將（-2，2）代入可得2=-2m，2=-2n+4，
解得：m=-1，n=1，
∴函數(shù)解析式為：y=-x；y=x+4．
（2）根據(jù)過點（-2.2）及（0，4）可畫出一次函數(shù)圖象，根據(jù)（0，0）及（-2，2）可畫出正比例函數(shù)圖象，如圖1所示，

（3）點Q關(guān)于x軸的對稱點為Q′（0，-4），
P、Q′連接P、Q′與x軸的交點為E，根據(jù)對稱的性質(zhì)可知QE=Q′E，此時PE+QE的值最��；
如圖2，

設(shè)直線P、Q′的函數(shù)解析式為：y=kx+b，
把Q′（0，-4），P（-2，2）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{-2k+b=2}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴y=-3x-4，
當(dāng)y=0時，-3x-4=0，
解得：x=$-\frac{4}{3}$，
∴點E的坐標(biāo)為（-$\frac{4}{3}$，0），
PQ′=$\sqrt{（-2-0）^{2}+（2+4）^{2}}$=2$\sqrt{10}$．

點評 本題考查待定系數(shù)法的運(yùn)用，是一道綜合性比較強(qiáng)的題目，在解答時注意抓住已知條件．