Question

6．【定義】
圓心在三角形的一邊上，與另一邊相切，且經(jīng)過(guò)三角形一個(gè)頂點(diǎn)（非切點(diǎn)）的圓稱為這個(gè)三角形圓心所在邊上的“伴隨圓”．
【概念理解】
如圖1，△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，則Rt△ABC 的直角邊AC上的伴隨圓的半徑為2；
【問(wèn)題探究】
如圖2，已知點(diǎn)E在△ABC的邊AB上，∠C=90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，且D在以AE為直徑的⊙O上．
求證：⊙O是Rt△ABC 斜邊AB上的伴隨圓；
【拓展應(yīng)用】
如圖3，已知等腰△ABC，AB=AC=5，BC=6，直接寫(xiě)出它的所有伴隨圓的半徑．

Answer 1

分析 【概念理解】
先依據(jù)勾股定理求得AC的長(zhǎng)，然后依據(jù)切線的性質(zhì)可知：BC=BD=3，設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=OD=r，OA=4-r，根據(jù)勾股定理列方程可得結(jié)論；
【問(wèn)題探究】連接OD，證得OD⊥BC后利用伴隨圓的定義證明結(jié)論即可；
【拓展應(yīng)用】
①當(dāng)O在BC上時(shí)，連接OD，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC．由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求得AE=4，依據(jù)切線的性質(zhì)可證明OD⊥AB，接下來(lái)證明△ODB∽△AEB，由相似三角形的性質(zhì)可求得圓O的半徑；
②當(dāng)O在AB上且圓O與BC相切時(shí)，連接OD、過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E．先證明△BOD∽△BAE，由相似三角形的性質(zhì)可求得圓O的半徑，
③當(dāng)O在AB上且圓O與AC相切時(shí)，連接OD、過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E．先依據(jù)面積法求得BF的長(zhǎng)，然后再證明△AOD∽△ABF，由相似三角形的性質(zhì)可求得圓O的半徑；

解答 解：【概念理解】
如圖1，∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=4．
∵AB是圓O的切線，設(shè)切點(diǎn)為D，連接OD，則∠ODA=90°，
∵∠ACB=90°，
∴BD=BC=3，
∴AD=5-3=2，
設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=OD=r，OA=4-r，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OA²=OD²+AD²，
（4-r）²=r²+2²，
r=1.5，
故答案為：2．

【問(wèn)題探究】
如圖，連接OD，

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴OD⊥BC，
∴BC與⊙O相切，
∴⊙O是Rt△ABC 斜邊AB上的伴隨圓；

【拓展應(yīng)用】
分三種情況：
①當(dāng)O在BC上時(shí)，如圖（1）所示：連接OD，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC．

∵AB=AC，AE⊥BC，
∴BE=EC=3．
在△AEB中，由勾股定理可知AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=4．
∵AB與⊙O相切，
∴OD⊥AB．
∴∠BDO=∠BEA=90°．
又∵∠OBD=∠EBA，
∴△ODB∽△AEB．
∴$\frac{OD}{AE}$=$\frac{OB}{AB}$．
設(shè)⊙O的半徑為r．在OB=6-r．
∴$\frac{r}{4}=\frac{6-r}{5}$．
∴r=$\frac{8}{3}$．
∴△ABC的BC邊上的伴隨圓的半徑為$\frac{8}{3}$．
②當(dāng)O在AB上且圓O與BC相切時(shí)，如圖（2），連接OD、過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E．

∵BC與⊙O相切，
∴OD⊥BC．
又∵AE⊥BC，
∴OD∥AE．
∴△BOD∽△BAE．
∴$\frac{OB}{AB}=\frac{OD}{AE}$．
設(shè)⊙O的半徑為r，則OB=5-r．
∴$\frac{5-r}{5}=\frac{r}{4}$．
∴r=$\frac{20}{9}$．
③當(dāng)O在AB上且圓O與AC相切時(shí)，如圖（3）所示：
連接OD、過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E．

∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AE=$\frac{1}{2}$AC•BF，
∴$\frac{1}{2}$×6×4=$\frac{1}{2}$×5×BF．
∴BF=4.8．
∵AC與⊙O相切，
∴DO⊥AC．
∴DO∥BF．
∴△AOD∽△ABF．
∴$\frac{AO}{AB}$=$\frac{OD}{BF}$即
$\frac{5-r}{5}=\frac{r}{4.8}$．
∴r=$\frac{120}{49}$．
綜上所述，△ABC的伴隨圓的半徑分為 $\frac{8}{3}$或 $\frac{20}{9}$或 $\frac{120}{49}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是圓的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了切線的性質(zhì)和判定、圓的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)和判定、銳角三角函數(shù)的定義，分類討論是解答【拓展應(yīng)用】的關(guān)鍵．