Question

如圖，AB在⊙O的直徑，點(diǎn)D在AB的延長線上，且BD=OB，點(diǎn)C在⊙O上，∠CAB=30°．
（1）不添加輔助線，圖中有幾對全等的三角形，請將其寫出（不需要證明）；
（2）求證：CD是⊙O的切線．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,全等三角形的判定

專題：幾何圖形問題

分析：（1）根據(jù)三角形全等的判定方法數(shù)出所有的全等三角形即可；
（2）要證DC是⊙O的切線，只要連接OC，再證∠DCO=90°即可．

解答：（1）解：全等的三角形有△AOC≌△DBC、△ABC≌△DOC；

（2）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∵∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°．
∵OB=OC，
∴△OBC為等邊三角形，
∴BC=OB=BD，△BCD為等腰三角形，∠CBD=120°．
∴∠BCD=30°，
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°，
∴DC是⊙O的切線．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．