Question

如圖，四邊形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，過A、B、C三點的⊙O與CD相切于點C，交AD于點G，點E為

AG

的中點，連接CE交AG于點F．
（1）求證：CD=DF；
（2）若BC=8，⊙O的半徑為5，求FG的長．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）連接OE交AG于H，連接OC，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得OC⊥CD，則∠OCE+∠DCF=90°，根據(jù)垂徑定理由點E為

AG

的中點得到OE⊥AG，則∠OEC+∠HFE=90°，由于∠HFE=∠DFC，則∠OEC+∠DFC=90°，加上∠OEC=∠OCE，則∠DCF=∠DFC，所以DC=DF；
（2）連接OA、CG，如圖，根據(jù)圓周角定理由∠ABC=90°得到AC為直徑，即AC=10，在Rt△ABC中，利用勾股定理計算出AB=6，再利用圓周角定理得到∠AGC=90°，則四邊形ABCG為矩形，所以AG=BC=8，CG=AB=6，根據(jù)垂徑定理由OH⊥AG得到AH=GH=4，則OH=

1

2

CG=3，所以EH=OE-OH=2，然后證明△EHF∽△CGF，利用相似比可計算出FG=3．

解答：（1）證明：連接OE交AG于H，連接OC，如圖，
∵CD為⊙O的切線，
∴OC⊥CD，
∴∠OCE+∠DCF=90°，
∵點E為

AG

的中點，
∴OE⊥AG，
∴∠OEC+∠HFE=90°，
而∠HFE=∠DFC，
∴∠OEC+∠DFC=90°，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE，
∴∠DCF=∠DFC，
∴DC=DF；
（2）解：連接OA、CG，如圖，
∵∠ABC=90°，
∴AC為直徑，即AC=10，
在Rt△ABC中，BC=8，AC=10，
∴AB=6，
∵AC為直徑，
∴∠AGC=90°，
∴四邊形ABCG為矩形，
∴AG=BC=8，CG=AB=6，
∴OH⊥AG，
∴AH=GH=4，
∴OH=

1

2

CG=3，
∴EH=OE-OH=5-3=2，
∵EH∥CG，
∴△EHF∽△CGF，
∴

HF

FG

=

HE

CG

，即

4-FG

FG

=

2

6

，
∴FG=3．

點評：本題考查了圓的切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了垂徑定理、圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．