Question

12．如圖，在矩形ABCD中，BC=6，CD=8，點(diǎn)P是AB上（不含端點(diǎn)A，B）任意一點(diǎn)，把△PBC沿PC折疊，當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′落在矩形ABCD對(duì)角線上時(shí)，BP=3或$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 分兩種情況探討：①點(diǎn)B落在矩形對(duì)角線BD上，②點(diǎn)B落在矩形對(duì)角線AC上，由三角形相似得出比例式，即可得出結(jié)果．

解答 解：①點(diǎn)A落在矩形對(duì)角線BD上，如圖1，
∵矩形ABCD中，AB=4，BC=3
∴∠ABC=90°，AC=BD，
∴AC=BD=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
根據(jù)折疊的性質(zhì)得：PC⊥BB′，
∴∠PBD=∠BCP，
∴△BCP∽△ABD，
∴$\frac{BP}{AD}=\frac{BC}{AB}$，
即$\frac{BP}{6}=\frac{6}{8}$，
解得：BP=$\frac{9}{2}$；
②點(diǎn)A落在矩形對(duì)角線AC上，如圖2，
根據(jù)折疊的性質(zhì)得：BP=B′P，∠B=∠PB′C=90°，
∴∠AB′A=90°，
∴△APB′∽△ACB，
∴$\frac{B′P}{BC}=\frac{AP}{AC}$，
即$\frac{BP}{6}=\frac{8-BP}{10}$，
解得：BP=3．
故答案為：3或$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了折疊問題、勾股定理，矩形的性質(zhì)以及三角形相似的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，由三角形相似得出比例式是解決問題的關(guān)鍵．