Question

2．已知在△ABC中，∠ACB=90°，當(dāng)點(diǎn)D在斜邊上時(shí)（不含端點(diǎn)），求證：$\frac{C{D}^{2}-B{D}^{2}}{B{C}^{2}}$=$\frac{AD-BD}{AB}$．

Answer 1

分析 作DE⊥BC于E，如圖，根據(jù)勾股定理得CD²=DE²+CE²，BD²=DE²+BE²，則$\frac{C{D}^{2}-B{D}^{2}}{B{C}^{2}}$可變形為$\frac{（CE-BE）（CE+BE）}{B{C}^{2}}$，即$\frac{C{D}^{2}-B{D}^{2}}{B{C}^{2}}$=$\frac{CE}{BC}$-$\frac{BE}{BC}$，再根據(jù)平行線分線段成比例定理，由DE∥AC得到$\frac{CE}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$，$\frac{BE}{BC}$=$\frac{BD}{AB}$，于是得到$\frac{C{D}^{2}-B{D}^{2}}{B{C}^{2}}$=$\frac{AD-BD}{AB}$．

解答 解：作DE⊥BC于E，如圖，
∵在Rt△CDE中，CD²=DE²+CE²，
在Rt△BDE中，BD²=DE²+BE²，
∴$\frac{C{D}^{2}-B{D}^{2}}{B{C}^{2}}$=$\frac{C{E}^{2}-B{E}^{2}}{B{C}^{2}}$=$\frac{（CE-BE）（CE+BE）}{B{C}^{2}}$=$\frac{CE}{BC}$-$\frac{BE}{BC}$，
∵DE∥AC，
∴$\frac{CE}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$，$\frac{BE}{BC}$=$\frac{BD}{AB}$，
∴$\frac{C{D}^{2}-B{D}^{2}}{B{C}^{2}}$=$\frac{CE}{BC}$-$\frac{BE}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$-$\frac{BD}{AB}$=$\frac{AD-BD}{AB}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．也考查了比例的性質(zhì)和勾股定理．