Question

10．將Rt△ABO放置在如圖所示的平面直角坐標系中，∠A=90°，∠AOB=60°，OB=2$\sqrt{3}$．斜邊OB在x軸的正半軸上，點A在第一象限，∠AOB的平分線OC交AB于C．求：
（1）點A、點C的坐標；
（2）在x軸上是否存在一點Q，使得以點C、O、Q為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由；
（3）過點C作△OCB的高CP，這時△BCP固定，△COP沿x軸正半軸方向以每秒1個單位的速度平移，設(shè)運動的總時間為t（0≤t≤2$\sqrt{3}$），△COP與△BCP的重疊部分面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析 （1）分別過A、C作x軸的垂線，垂足分別為M、N，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可分別求得CN、ON，CM、AM，可求得A、C的坐標；
（2）設(shè)Q點坐標為（x，0），可表示出CQ、OQ，分OQ=OC、OQ=CQ、OC=CQ三種情況可分別得出關(guān)于x的方程，可求得x，可求得Q點的坐標；
（3）由條件可先求得△COB為等腰三角形，可求得OP和PB，當t=$\sqrt{3}$時，O′P′與PB重合，分0≤t≤$\sqrt{3}$與$\sqrt{3}$＜t≤2$\sqrt{3}$兩種情況，分別用t表示出S，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值．

解答 解：（1）如圖1，分別過A、C作x軸的垂線，垂足分別為M、N，

∵∠AOB=60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠CON=∠ABO=30°，
∴AO=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，ON=NB=$\frac{1}{2}$OB=$\sqrt{3}$，
在Rt△OCN中，CN=ONtan∠CON=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=1，
∴C（$\sqrt{3}$，1），
在Rt△AOM中，OM=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則AM=OMtan∠AOB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{3}{2}$，
∴A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）；
（2）假設(shè)存在滿足條件的Q點，設(shè)其坐標為（x，0），
則OQ=|x|，CQ=$\sqrt{（x-\sqrt{3}）^{2}+1}$，且由（1）可求得OC=2，
若△OCQ為等腰三角形，則有三種情況，即OQ=OC、OQ=CQ、OC=CQ，
①當OQ=OC時，則|x|=2，解得x=2或-2，此時Q點坐標為（-2，0）或（2，0），
②當OQ=CQ時，則|x|=$\sqrt{（x-\sqrt{3}）^{2}+1}$，此時方程無解，
③當OC=CQ時，則2=$\sqrt{（x-\sqrt{3}）^{2}+1}$，解得x=0或x=2$\sqrt{3}$，當x=0時，Q與O重合，不符合條件，舍去，故x=2$\sqrt{3}$，此時Q點坐標為（2$\sqrt{3}$，0），
綜上可知存在滿足條件的Q點，其坐標為（-2，0）或（2，0）或（2$\sqrt{3}$，0）；
（3）由（1）可知△COB為等腰三角形，CP為OB邊上的高，
∴OP=PB=$\frac{1}{2}$OB=$\sqrt{3}$，
當△COP移動時，與△BPC的重合部分，如圖2中陰影部分所示，

由△COP速度為1，則t時刻陰影部分寬度為PP′，當t=$\sqrt{3}$時，O′P′與 PB重合，
①當0≤t≤$\sqrt{3}$時，則PP′=t，F(xiàn)P′=$\frac{1}{2}$t，
∴P′B=$\sqrt{3}$-t，
在Rt△P′D′B中，P′D′=P′Btan∠ABO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（$\sqrt{3}$-t）=1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t，
∴FB=FP′+P′B=$\frac{1}{2}$t+$\sqrt{3}$-t=$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$t，
在Rt△BEF中，EF=BFtan∠ABO=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$t）=1-$\frac{\sqrt{3}}{6}$t，
又陰影部分的面積為梯形EFP′D′的2倍，
∴S=S_陰影=2S_{梯形EFP′D′}=2×$\frac{1}{2}$（EF+P′D′）•FP′=t-$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（t-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
當t=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時，S有最大值$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
②$\sqrt{3}$≤t≤2$\sqrt{3}$時，則OO′=t，
∴O′B=OB-OO′=2$\sqrt{3}$-t，
此時重合部分為以O(shè)′B為底邊的等腰三角形，
且EF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\frac{O′B}{2}$=1-$\frac{\sqrt{3}}{6}$t，
∴S=S_陰影=$\frac{1}{2}$O′B•EF=$\frac{\sqrt{3}}{12}$t²-t+$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$（t-2$\sqrt{3}$）²，
當$\sqrt{3}$≤t≤2$\sqrt{3}$時，S單調(diào)遞減，
∴當t=$\sqrt{3}$時，有最大值$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
綜上可知S與t的關(guān)系式為S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{4}{t}^{2}+t（0≤t≤\sqrt{3}）}\\{\frac{\sqrt{3}}{12}{t}^{2}-t+\sqrt{3}（\sqrt{3}≤t≤2\sqrt{3}）}\end{array}\right.$，當t=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時，S有最大值$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題主要考查一次函數(shù)的綜合問題，涉及知識點有直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、二次函數(shù)的性質(zhì)等．在（1）中作出A、C到x軸的距離求得線段的長是求其坐標的關(guān)鍵，在（2）中注意分三種情況分別討論，在（3）中確定出重合部分的圖形是解題的關(guān)鍵．本題涉及知識點較多，難度較大．