Question

16．拋物線y═ax²+bx-3（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）和B（3，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)（1）中的拋物線交y軸與C點(diǎn)，在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q．使得△QAC的周長最��？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）設(shè)（1）中的拋物線交y軸于C點(diǎn)，過點(diǎn)C的直線交x軸于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)P，若∠MCA=∠MAC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0）和B（3，0）代入y═ax²+bx-3，解方程組即可．
（2）由AC長為定值，要使△QAC的周長最小，只需QA+QC最小，根據(jù)對稱的性質(zhì)，Q是直線BC與對稱軸x=1的交點(diǎn)，再求得BC的直線，從而求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
（3）如圖3中，連接AC作線段AC的垂直平分線交x軸于M，先求出直線AC，線段AC的垂直平分線的解析式，再求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，求出直線CM的解析式與拋物線的解析式列為方程組，解方程組即可解決問題．

解答 解：（1）把A（-1，0）和B（3，0）代入y═ax²+bx-3，
得$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{9a+3b-3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3．
（2）存在點(diǎn)Q的坐標(biāo)．如圖1中，

在拋物線y=x²-2x-3的對稱軸上存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長最�。�
∵AC長為定值，
∴要使△QAC的周長最小，只需QA+QC最小．
∵點(diǎn)A關(guān)于對稱軸x=1的對稱點(diǎn)是B（3，0），
∴由幾何知識可知，Q是直線BC與對稱軸x=1的交點(diǎn)，
拋物線y=x²-2x-3與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），設(shè)直線BC的解析式為y=kx-3．
∵直線BC過點(diǎn)B（3，0），
∴3k-3=0，
∴k=1．
∴直線BC的解析式為y=x-3，
∴當(dāng)x=1時，y=-2．
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，-2）．

（3）如圖3中，連接AC作線段AC的垂直平分線交x軸于M，

∵M(jìn)A=MC，
∴∠MAC=∠MCA，
直線CM與拋物線的交點(diǎn)即可所求的點(diǎn)P．
∵A（-1，0），C（0，-3），
∴直線AC的解析式為y=-3x-3，
∴線段AC的垂直平分線的解析式為y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{4}{3}$，
∴點(diǎn)M坐標(biāo)（4，0），
∴直線CM解析式為y=$\frac{3}{4}$x-3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{4}x-3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{11}{4}}\\{y=-\frac{15}{16}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)（$\frac{11}{4}$，-$\frac{15}{16}$）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，涉及了頂點(diǎn)坐標(biāo)的求解、三角形的面積及軸對稱求最短路徑的知識，解答本題的關(guān)鍵是熟練各個知識點(diǎn)，注意培養(yǎng)自己解綜合題的能力．