Question

19．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)A（-$\sqrt{3}$，0）的兩條直線分別交y軸于B、C兩點(diǎn)，且B、C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是一元二次方程x²-2x-3=0的兩個(gè)根
（1）求線段BC的長(zhǎng)度；
（2）試問(wèn)：直線AC與直線AB是否垂直？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若點(diǎn)D在直線AC上，且DB=DC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（4）在（3）的條件下，直線BD上是否存在點(diǎn)P，使以A、B、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）解出方程后，即可求出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出BC的長(zhǎng)度；
（2）由A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)可知OA²=OC•OB，所以可證明△AOC∽△BOA，利用對(duì)應(yīng)角相等即可求出∠CAB=90°；
（3）容易求得直線AC的解析式，由DB=DC可知，點(diǎn)D在BC的垂直平分線上，所以D的縱坐標(biāo)為1，將其代入直線AC的解析式即可求出D的坐標(biāo)；
（4）A、B、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，可分為以下三種情況：①AB=AP；②AB=BP；③AP=BP；然后分別求出P的坐標(biāo)即可．

解答 （1）∵x²-2x-3=0，
∴x=3或x=-1，
∴B（0，3），C（0，-1），
∴BC=4，

（2）∵A（-$\sqrt{3}$，0），B（0，3），C（0，-1），
∴OA=$\sqrt{3}$，OB=3，OC=1，
∴OA²=OB•OC，
∵∠AOC=∠BOA=90°，
∴△AOC∽△BOA，
∴∠CAO=∠ABO，
∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAC=90°，
∴AC⊥AB；

（3）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，
把A（-$\sqrt{3}$，0）和C（0，-1）代入y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1=b}\\{0=-\sqrt{3}k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1，
∵DB=DC，
∴點(diǎn)D在線段BC的垂直平分線上，
∴D的縱坐標(biāo)為1，
∴把y=1代入y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1，
∴x=-2$\sqrt{3}$，
∴D的坐標(biāo)為（-2$\sqrt{3}$，1），

（4）設(shè)直線BD的解析式為：y=mx+n，直線BD與x軸交于點(diǎn)E，
把B（0，3）和D（-2$\sqrt{3}$，1）代入y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{1=-2\sqrt{3}m+n}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴直線BD的解析式為：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3，
令y=0代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3，
∴x=-3$\sqrt{3}$，
∴E（-3$\sqrt{3}$，0），
∴OE=3$\sqrt{3}$，
∴tan∠BEC=$\frac{OB}{OE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BEO=30°，
同理可求得：∠ABO=30°，
∴∠ABE=30°，
當(dāng)PA=AB時(shí)，如圖1，
此時(shí)，∠BEA=∠ABE=30°，
∴EA=AB，
∴P與E重合，
∴P的坐標(biāo)為（-3$\sqrt{3}$，0），
當(dāng)PA=PB時(shí)，如圖2，
此時(shí)，∠PAB=∠PBA=30°，
∵∠ABE=∠ABO=30°，
∴∠PAB=∠ABO，
∴PA∥BC，
∴∠PAO=90°，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-$\sqrt{3}$，
令x=-$\sqrt{3}$代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3，
∴y=2，
∴P（-$\sqrt{3}$，2），
當(dāng)PB=AB時(shí)，如圖3，
∴由勾股定理可求得：AB=2$\sqrt{3}$，EB=6，
若點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，記此時(shí)點(diǎn)P為P₁，
過(guò)點(diǎn)P₁作P₁F⊥x軸于點(diǎn)F，
∴P₁B=AB=2$\sqrt{3}$，
∴EP₁=6-2$\sqrt{3}$，
∴sin∠BEO=$\frac{F{P}_{1}}{E{P}_{1}}$，
∴FP₁=3-$\sqrt{3}$，
令y=3-$\sqrt{3}$代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3，
∴x=-3，
∴P₁（-3，3-$\sqrt{3}$），
若點(diǎn)P在y軸的右側(cè)時(shí)，記此時(shí)點(diǎn)P為P₂，
過(guò)點(diǎn)P₂作P₂G⊥x軸于點(diǎn)G，
∴P₂B=AB=2$\sqrt{3}$，
∴EP₂=6+2$\sqrt{3}$，
∴sin∠BEO=$\frac{G{P}_{2}}{E{P}_{2}}$，
∴GP₂=3+$\sqrt{3}$，
令y=3+$\sqrt{3}$代入y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+3，
∴x=3，
∴P₂（3，3+$\sqrt{3}$），
綜上所述，當(dāng)A、B、P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3$\sqrt{3}$，0），（-$\sqrt{3}$，2），（-3，3-$\sqrt{3}$），（3，3+$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，涉及一元二次方程的解法，相似三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的判定等知識(shí)，內(nèi)容較為綜合，需要學(xué)生靈活運(yùn)用所知識(shí)解決．