Question

10．已知，△ABC是等腰直角三角形，BC=AB，A點在x負半軸上，直角頂點B在y軸上，點C在x軸上方．

（1）如圖1所示，若A的坐標是（-3，0），點B的坐標是（0，1），求點C的坐標；
（2）如圖2，過點C作CD⊥y軸于D，請直接寫出線段OA，OD，CD之間等量關系；
（3）如圖3，若x軸恰好平分∠BAC，BC與x軸交于點E，過點C作CF⊥x軸 于F，問CF與AE有怎樣的數(shù)量關系？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）作CH⊥y軸于D，如圖1，易得OA=3，OB=1根據(jù)等腰直角三角形的性質得BA=BC，∠ABC=90°，再利用等角的余角相等得到∠CBH=∠BAO，則可根據(jù)“AAS”證明△ABO≌△BCH，得到OB=CH=1，OA=BH=3，所以C（-1，4）；
（2）與（1）一樣的方法可證明△ABO≌△BCD，得到OB=CD，OA=BD，易得OA=CD+OD；
（3）如圖3，CF和AB的延長線相交于點D，先證明△ABE≌△CBD得到AE=CD，再利用對稱性質得CF=DF，所以CF=$\frac{1}{2}$AE．

解答 解：（1）作CH⊥y軸于D，如圖1，
∵點A的坐標是（-3，0），點B的坐標是（0，1），
∴OA=3，OB=1，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBH=90°，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠CBH=∠BAO，
在△ABO和△BCH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BHC}\\{∠BAO=∠CBH}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△BCH，
∴OB=CH=1，OA=BH=3，
∴OH=OB+BH=1+3=4，
∴C（-1，4）；
（2）OA=CD+OD．理由如下：如圖2，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBD=90°，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠CBD=∠BAO，
在△ABO和△BCD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠BDC}\\{∠BAO=∠CBD}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△BCD，
∴OB=CD，OA=BD，
而BD=OB+OD=CD+OD，
∴OA=CD+OD；
（3）CF=$\frac{1}{2}$AE．理由如下：
如圖3，CF和AB的延長線相交于點D，
∴∠CBD=90°，
∵CF⊥x，
∴∠BCD+∠D=90°，
而∠DAF+∠D=90°，
∴∠BCD=∠DAF，
在△ABE和△CBD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CBD}\\{∠BAE=∠BCD}\\{AB=CB}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△CBD，
∴AE=CD，
∵x軸平分∠BAC，CF⊥x軸，
∴CF=DF，
∴CF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AE．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質：全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．也考查了坐標與圖形性質和等腰直角三角形的性質．本題的關鍵是利用等腰直角三角形的性質添加輔助線構建全等三角形．