Question

19．閱讀下列材料，解答下列問題：
材料1．把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做因式分解，也叫分解因式．如果把整式的乘法看成一個變形過程，那么多項式的因式分解就是它的逆過程．
公式法（平方差公式、完全平方公式）是因式分解的一種基本方法．如對于二次三項式a²+2ab+b²，可以逆用乘法公式將它分解成（a+b）²的形式，我們稱a²+2ab+b²為完全平方式．但是對于一般的二次三項式，就不能直接應用完全平方了，我們可以在二次三項式中先加上一項，使其配成完全平方式，再減去這項，使整個式子的值不變，于是有：
x²+2ax-3a²
=x²+2ax+a²-a²-3a²
=（x+a）²-（2a）²
=（x+3a）（x-a）
材料2．因式分解：（x+y）²+2（x+y）+1
解：將“x+y”看成一個整體，令x+y=A，則
原式=A²+2A+1=（A+1）²
再將“A”還原，得：原式=（x+y+1）²．
上述解題用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學解題中常見的一種思想方法，請你解答下列問題：
（1）根據(jù)材料1，把c²-6c+8分解因式；
（2）結合材料1和材料2完成下面小題：
①分解因式：（a-b）²+2（a-b）+1；
②分解因式：（m+n）（m+n-4）+3．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)材料1，可以對c²-6c+8分解因式；
（2）①根據(jù)材料2的整體思想可以對（a-b）²+2（a-b）+1分解因式；
②根據(jù)材料1和材料2可以對（m+n）（m+n-4）+3分解因式．

解答 解：（1）c²-6c+8
=c²-6c+3²-3²+8
=（c-3）²-1
=（c-3+1）（c-3+1）
=（c-4）（c-2）；
（2）①（a-b）²+2（a-b）+1
設a-b=t，
則原式=t²+2t+1=（t+1）²，
則（a-b）²+2（a-b）+1=（a-b+1）²；
②（m+n）（m+n-4）+3
設m+n=t，
則t（t-4）+3
=t²-4t+3
=t²-4t+2²-2²+3
=（t-2）²-1
=（t-2+1）（t-2-1）
=（t-1）（t-3），
則（m+n）（m+n-4）+3=（m+n-1）（m+n-3）．

點評 本題考查因式分解的應用，解題的關鍵是明確題意，可以根據(jù)材料中的例子對所求的式子進行因式分解．