Question

3．已知拋物線y=x²-5x+4與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，頂點為點P．
（1）求△ABP的面積；
（2）在該拋物線上是否存在點Q，使S_△ABQ=8S_△ABP？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）令y=0，求出x的值即可得出AB兩點的坐標；再令x=0，求出y的值可得出C點坐標；利用拋物線的頂點坐標公式即可得出P點的坐標，進而可求出△ABP的面積；
（2）該拋物線上存在點Q，使S_△ABQ=8S_△ABP，若確定Q點的縱坐標，代入拋物線解析式求出橫坐標即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²-5x+4中，令y=0，則x²-5x+4=0，即（x-4）（x-1）=0，
解得x=4，x=1；
∴A（1，0），B（4，0）；
令x=0，得y=4，
∴C（0，4）．
∵點P是拋物線的頂點，
∴P（$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{4}$），
∵AB=3，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{9}{4}$=$\frac{27}{8}$；

（2）存在，理由如下：
因為S_△ABQ=8S_△ABP，所以h_△ABQ=8h_△ABP=18．
所以令y=18，則x²-5x+4=18，
解得x₁=7，x₂=-2，
所以Q₁（7，18）Q₂（-2，18）．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點以及二次函數(shù)的性質(zhì)，得出各點的坐標是解答本題的突破口．