Question

19．如圖，Rt△ABC中，M為斜邊AB上一點，且MB=MC=AC=8cm，平行于BC的直線l從BC的位置出發(fā)以每秒1cm的速度向上平移，運動到經(jīng)過點M時停止．直線l分別交線段MB、MC、AC于點D、E、P，以DE為邊向下作等邊△DEF，設(shè)△DEF與△MBC重疊部分的面積為S（cm²），直線l的運動時間為t（秒）．
（1）求邊BC的長度；
（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在整個運動過程中，是否存在這樣的時刻t，使得以P、C、F為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．
（4）在整個運動過程中，是否存在這樣的時刻t，使得以點D為圓心、BD為半徑的圓與直線EF相切？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)即可，
（2）分兩段求出函數(shù)關(guān)系式：當0＜t≤3時，S=-$\frac{7\sqrt{3}}{3}$t²+8$\sqrt{3}$t，當3＜t≤4時，S=3$\sqrt{3}$t²-24$\sqrt{3}$t+48$\sqrt{3}$
（3）當0＜t≤3時，∠FCP≥90°，故△PCF不可能為等腰三角形當3＜t≤4時，若△PCF為等腰三角形，也只能FC=FP，$\frac{t}{2}$=3（4-t），得t=$\frac{24}{7}$．
（4）若相切，利用點到圓心的距離等于半徑列出方程即可．

解答 解：（1）設(shè)∠B=α，
∵MB=MC，
∴∠B=MCB=α，
∴∠AMC=2α，
∵MC=MA，
∴∠A=∠AMC=2α，
∵∠B+∠A=90°，
∴α+2α=90°，
∴α=30°，
∴∠B=30°，
∵cotB=$\frac{BC}{AC}$，
∴BC=AC×cotB=8$\sqrt{3}$；

（2）由題意，若點F恰好落在BC上，
∴MF=4（4-t）=4，
∴t=3．
當0＜t≤3時，如圖，

∴BD=2t，DM=8-2t，
∵l∥BC，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{DM}{BM}$，
∴$\frac{DE}{8\sqrt{3}}=\frac{8-2t}{8}$，
∴DE=$\sqrt{3}$（8-2t）．
∴點D到EF的距離為FJ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DE=3（4-t），
∵l∥BC，
∴$\frac{HG}{DE}=\frac{FN}{FJ}$，
∵FN=FJ-JN=3（4-t）-t=12-4t，
∴HG=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$（3-t）
S=S_梯形DHGE=$\frac{1}{2}$（HG+DE）×FN=-$\frac{7\sqrt{3}}{3}$t²+8$\sqrt{3}$t
當3＜t≤4時，重疊部分就是△DEF，
S=S_△DEF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$DE²=3$\sqrt{3}$t²-24$\sqrt{3}$t+48$\sqrt{3}$．
即：S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{7\sqrt{3}}{3}{t}^{2}+8\sqrt{3}t（0＜t≤3）}\\{3\sqrt{3}{t}^{2}-24\sqrt{3}t+48\sqrt{3}（3＜t≤4）}\end{array}\right.$

（3）當0＜t≤3時，∠FCP≥90°，
∴FC＞CP，
∴△PCF不可能為等腰三角形
當3＜t≤4時，若△PCF為等腰三角形，
∴只能FC=FP，
∴$\frac{t}{2}$=3（4-t），
∴t=$\frac{24}{7}$
∴存在這樣的時刻t=$\frac{24}{7}$時，使得以P、C、F為頂點的三角形為等腰三角形，
（4）若相切，
理由：∵∠B=30°，
∴BD=2t，DM=8-2t，
∵l∥BC，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{DM}{BM}$，
∴$\frac{DE}{8\sqrt{3}}=\frac{8-2t}{8}$，
∴DE=$\sqrt{3}$（8-2t）．
∴點D到EF的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$DE=3（4-t）
∴2t=3（4-t），
解得t=$\frac{12}{5}$．
∴存在這樣的時刻t=$\frac{12}{5}$時，使得以點D為圓心、BD為半徑的圓與直線EF相切．

點評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，等腰三角形的性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵利用三角函數(shù)求出線段．