Question

如圖，線段AC、BD為四邊形ABCD對角線．已知，∠ABC=∠ADC=90°，AD=DC，tan∠ACB=

5

7

，BD=6，則CD的長為

 

．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,解直角三角形

專題：

分析：延長BC到E，使CE=AB，連接DE，易證∠BAD=∠DCE，即可證明△DAB≌△DCE，可得∠ADB=∠CDE，BD=DE，即可求證△BDE為等腰直角三角形，即可求得BE的長，再根據(jù)tan∠ACB的值可以求得AB，BC的長，即可求得AC的長，即可求得CD的長，即可解題．

解答：解：延長BC到E，使CE=AB，連接DE，

∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠DCE+∠BCD=180°，
∴∠BAD=∠DCE，
∵在△DAB和△DCE中，

AB=CE ∠BAD=∠DCE AD=DC

，
∴△DAB≌△DCE，（SAS）
∴∠ADB=∠CDE，BD=DE=6，
∵∠ADB+∠BDC=∠ADC=90°，
∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=90°，
∴△BDE為等腰直角三角形，
∴BE=6

2

，
∵tan∠ACB=

AB

BC

=

CE

BC

=

5

7

，
∴BC=

7

12

BE=

7 2

2

，AB=CE=

5

12

BE=

5 2

2

，
∵AC²=AB²+BC²=37，
∴CD=

2

2

AC=

2

2

×

37

=

74

2

．
故答案為

74

2

．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊、對應角相等的性質，本題中求證△DAB≌△DCE是解題的關鍵．